直线、平面平行的判定及其性质

1、准备方向应该明确考什么如何测试1.基于立体几何的定义、公理和定理，我们认识和理解了空间线平面平行性的性质和判定定理。2.利用公理、定理和所得结论证明某些空间图形平行关系的简单命题。1.直线与平面、平面与平面平行性的判断和本质是高考的热点之一。考查了线-线、线-面和平面平行度的转换，考查了学生的空间想象和逻辑推理能力。2.从试题来看，既有客观题，也有主观题。客观题一般侧重于判断直线和平面的平行性和分析性质定理；主观问题主要集中在线与平面平行性的判断和性质定理的应用上，一般设计为答案之一，如2012年浙江T20(1)、江苏T16(2)和福建T18(2)。归纳知识整合1.直线平行于平面的判断定理和性

2、质定理文本语言图形语言符号语言判断定理如果平面外的直线平行于该平面内的直线，则该直线平行于该平面(平行线平行于平面平行)la,a,l，l属性定理如果一条直线平行于一个平面，则穿过该直线的任何平面与该平面的交点都平行于该直线(简称为“线与平面之间的平行线”)l,l,=b，lb询问 1。如果一条直线平行于一个平面上的一条直线，这条直线平行于这个平面吗？提示：不一定。只有当这条线在平面之外时，它才能是平行的。2.如果一条线平行于一个平面，这条线平行于这个平面的任何一条线吗？提示：不，对于任何直线，都有非平面的情况。2.平面平行于平面的判断定理和性质定理文本语言图形语言符号语言判断定理如果一个平面中的

3、两条相交线平行于另一个平面，那么这两个平面是平行的(简称为“平行线和平面”)a,b,ab=P,a,b,属性定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线是平行的,=a,=b,ab询问 3。如果一个平面有无数条平行于另一个平面的直线，这两个平面是平行的吗？提示：不一定。它可以是平行的或交叉的。4.如果两个平面平行，一个平面上的直线和另一个平面上的直线之间的位置关系是什么？回答：平行。自测1.在下列命题中，正确的是()A.如果ab，b，那么aB.如果a和b ，那么abC.如果a和b，那么abD.如果Ab，b，A ，那么A分析：从直线平行于平面的判断定理可知选择D。这三个条件都是必不可少的

4、，只有选项D是正确的。2.直线L上有三个不同的点A、B和C，与平面的距离相同，因此直线L与平面之间的位置关系为()A.lB.lC.l与相交，但不垂直于d . l或d . l解析：当D选择为直线L或L 时，条件满足。3.(改编课本练习)众所周知，平面和直线有以下表述：(1)a和中的所有直线是平行的；a平行于中无数条直线；和中的任何直线都不垂直。真正命题的序号是_ _ _ _ _ _ _ _ _。分析：从面对面平行的性质可以看出，A与相交的平面与相交的平面与A平行，所以误差；正确；平面中的直线与直线A平行，可以在不同的平面上，包括垂直面，所以是错误的。回答：4.如图所示，在空间四边形ABCD，MA

5、B，NAD中，如果=，直线MN和平面BDC之间的位置关系是_ _ _ _ _ _ _ _ _。解析：MNBD，和Mn平面BCD，BD平面BCD，MN飞机BDC。回答：平行(课本练习改编)穿过三棱柱ABC-A1B1C1的边A1C1、B1C1、BC和AC的中点e、f、g和h的平面平行于该平面。分析：如图所示，E、f、g和h分别是A1C1、B1C1、BC和AC的中点。EFA1B1，fgb1b，effg=f，a1 B1b1b=B1飞机efgh飞机ABB1A1。回答：ABB1A1线与平面平行性的判断和性质示例1正方形ABCD和正方形ABEF的平面在AB处相交，并且在AE和BD上分别存在点P和q，并且AP

6、=dq。证明：PQ平面BCE。自治解决方案方法1:如图所示，使PMAB交叉BE到m，使QNAB交叉BC到n，并连接MN。*正方形ABCD和正方形ABEF具有公共边AB， AE=BD。AP=dq， PE=QB，和PMABQN，=,=，=，PMNQ，即四边形pmnq是平行四边形，PQMN.和Mn平面BCE、pq平面BCE，PQ飞机公司。方法二：如图所示，使酸碱度EB在h中与AB交叉并连接到HQ，然后=，* AE=BD，AP=DQ，PE=BQ，=，HQAD，也就是公元前年的总部。和phHQ=h，BCEB=b，平面phq平面BCE，pq飞机PHQ，PQ飞机公司。在本例中，如果条件“AP=DQ”变为“=

7、”，直线PQ是否平行于平面BCE？解决方案：并行。证明如下：如图所示，连接AQ，将BC扩展到K，连接EK。ADBK，=。和=，=，PQEK.pq飞机BEC，埃克飞机BEC，PQ飞机公司。3354335433543354335433543354333论证线与平面平行的要点，探索线与平面平行的方法(1)证明一条直线平行于一个平面的关键是在平面上找到一条与已知直线平行的直线；(2)利用几何学的特点，合理地利用中线定理和平行线与平面的性质，或构造平行四边形，寻找比例公式来证明两条线是平行的；(3)注意，已知直线不在平面内，也就是说，三个条件都是必不可少的。1.如图所示，在立方体ABCD-A1B1C1D

8、1中，ab=2，点e是AD的中点，点f在CD上。如果EF平面AB1C，线段EF的长度等于_ _ _ _ _ _ _ _ _。分析：EF平面AB1C，EF平面ACD，平面ACD平面ab1c=交流，EFAC，e是AD的中点，ab=2，EF=AC=.回答：2.(无锡仿真2013)如图所示，PA平面ABCD，四边形ABCD是长方形，e和f分别是AB和PD的中点。验证：PCE飞机。证明：如图所示，取PC中点m，我和MF是相连的，那么调频光盘和调频=光盘。和声发射镉和声发射=镉，FM AE，也就是说，四边形AFME是平行四边形。AFME，此外，AF平面PCE、em平面PCE，AF飞机公司。表面平行度的判断

9、和性质示例2如图所示，在直的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是正方形，e、f和g分别是边缘B1B、D1D和DA的中点。自治解* e、f分别是B1B和D1D的中点，D1F是，四边形BED1F是平行四边形，D1EBF.和d1e平面血糖，BF平面血糖，D1E空军基地。* FG是DAD1的中线，FGAD1.和AD1平面BGF，fg平面BGF，AD1空军基地。并且ad1d1e=D1，平面ad1e平面BGF。3354335433543354335433543354333一种判断表面平行度的方法(1)利用的定义：证明两个平面之间没有共同点(不常用)；(2)利用表面平行度判断定理(主要方法)；(3)用

10、两个垂直于同一直线的平面平行(可提出客观问题)；(4)利用平面平行性的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面是平行的(有客观题)。3.如图所示，ABCD-A1B1C1D1是边长为a的立方体，m和n是下底面的边A1B1和B1C1的中点，p是上底面的边AD上的点，AP=，穿过p、m和n的平面在PQ上与底面相交，q在CD上，那么pq=_ _ _ _ _ _ _。分析：平面abcd平面A1B1C1D1，MNPQ.* M和n分别是A1B1和B1C1的中点，AP=， CQ=，所以DP=dq=， pq=a .答：答4.如图所示，在立方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N和P是边的中点。核实

11、：MNP飞机A1C1B飞机。证明：如图所示，当D1C连接时，MN为DD1C的中线。MND1C.* d1ca1b，MNA1B.MPC1B也是如此。当MN和MP相交时，MN和MP在平面MNP，A1B和C1B在平面A1C1B，平面MNP平面A1C1B。线平面平行性的探索性问题例3(徐州仿真2013)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1，A1A平面ABC中，如果d是边CC1的中点，问边AB上是否有一点e，这样de平面AB1C1？如果存在，请确定E点的位置；如果不存在，请说明原因。自治解有一个e点，e是AB的中点。给出了以下证明：如图所示，取BB1的中点f，连接DF。那么DFB1 C1，* AB的中点

12、是e，连接EF，然后是英孚AB1。B1C1和AB1是相交的线，平面def平面AB1C1。和de平面DEF，DE飞机AB1C1。3354335433543354335433543354333解决探索性问题的方法为了解决探索性问题，一般采用结果原因的方法，假设解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了满足题目结果要求的条件，它们就存在；如果没有满足主题结果要求的条件(矛盾)，它就不存在。5.如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底部ABCD是等腰梯形，ABCD，AB=2cd。在边ab上有一个点f，所以平面C1CF平面ADD1A1？如果它存在，找到f点的位置；

13、如果不存在，请说明原因。解：平面C1CF平面ADD1A1有一个点F，在这个点F是AB的中点，证明如下：abCD，ab=2cd，AF CD，四边形AFCD是平行四边形，ADCF，Ad平面ADD1A1，一个cf平面ADD1A1，CF飞机地址1A1。和CC1DD1，CC1平面ADD1A1，DD1飞机的ADD1a1，CC1飞机ADD1A1，和CC1，cf平面C1CF，CC1cf=c，飞机c1cf飞机ADD1A1。1关系三种平行度之间的转换关系平行线、平行线和平行面的相互转化是解决平行问题的指导思想。在解决问题时，不仅要注意一般的转化规律，还要看到问题的具体情况，选择正确的转化方向。两个属性：线对平面，

14、面对面平行属性(1)平行线和平面的性质：如果一条线平行于一个平面，则该线和该平面之间没有公共点。线对线平行度可以从线对平面平行度得到。(2)表面对表面平行性的性质：如果两个平面平行，一个平面上的直线与另一个平行。如果一个平面与两个平行平面相交，则相交线是平行的。确定直线和平面平行度的三种方法判断平面平行度的立足点是线平面平行度，因此有必要掌握线平面平行度的判断方法。判断线-面平行度有三种方法：(1)使用定义：判断直线与平面之间没有公共点(一般结合反证的方法)；(2)利用平行线和平面的判断定理；(3)利用面对面平行的性质，即当两个平面平行时，一个平面上的任何直线都是相互平行的。数学思想的变换与约

15、简在证明平行关系中的应用线-线平行度、线-面平行度和平-面平行度是空间中三种基本的平行关系，它们可以相互转化，它们的转化关系如下：证明平行的一般思想是：证明曲面平行，可以转化为证明直线平行，证明直线平行。典型示例(盐城模拟2013)如图所示，p为ABCD所在平面外的一点，m和n分别为AB和PC的中点，平面pad平面PBC=L .(1)判断BC和L的位置关系，并证明你的结论；(2)判断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论。解决方案 (1)结论：BCl、因为广告BC，广告平面PAD，广告平面PAD，因此，BC平面焊盘。因为BC飞机PBC，PAD飞机PBC=1，所以公元前l。(2)结论：MN平

16、面PAD。假设q是光盘的中点，如图所示，连接NQ，MQ，然后是NQPD，MQAD。因为NQMQ=q，PDAD=D，所以平面MNQ平面PAD。因为锰平面，因此，MN平面焊盘。1.本课题(1)交替使用线平面平行性的判断定理和性质定理，实现线平面平行性的证明。课题(2)巧妙地将线-平面平行性的证明转化为平面-平面平行性的证明，从而得到线-平面平行性的证明2.利用相关的平行判断定理和性质定理实现线、线、面之间平行关系的转换，平面几何中的一些平行判断和性质的灵活应用，如中线与平行线段的比例，是证明空间中线与面之间平行关系的基础。如图所示，在pabc pcab的四面体PABC中，点d、e、f和g分别是边AP、AC、BC和PB的中点。(1)核查：德飞机BCP；(2)验证：四边形DEFG是矩形；证明了：(1)由于D和E是AP和AC的中点，所以DEPC。因为德BCP飞机，BCP个人电脑飞机，所以德飞机BCP。(2)因为d、e、f和g分别是AP、AC、BC和PB的中点，因此，德聚碳酸酯功能基，德聚碳酸酯乙乙，因此，四边形DEFG是平行四边形。因为PCAB，因此，DEDG，因此，四边形DEFG是矩形的。首先是选择题(这个大问题有6个小问题，每个小问题5分，总共