《计量与测试技术》第3章--近似计算及其误差.ppt

1、第三章 近似计算及其误差,3.1 基本概念 任何测量都有误差，即测得值是一代表真值的近似值。测得值可以越来越接近真值，但被测量的真值永远是未知的。因此，通常所说的真值，实际上是相对真值。 在实际计量工作中，上一级标准的给出值对下一级标准来说，往往可视为相对真值（亦称实际值）；对于多次重复测量，有时亦可视测得值的算术平均值为相对真值。,绝对误差 绝对误差x是测得值x与其真值x0之差，即 相对误差相对误差x是测得值x的绝对误差与其真值之比，即,分贝误差分贝误差实际上是相对误差的另一种表现形式。 分贝的定义（对于电流和电压等）为 式中，设x=U2/U1，U2，U1为电压，则 从而有,例：一电压用某电

2、压表测得为125V，用标准表测得为127V，求分贝误差。 解：所测电压的相对误差为： 则其分贝误差为：,实际工作中，常用dB表示信号电平，用dBm表示功率电平。为此，必须确定一个基础电平，即零电平。在电学领域中，零电平一般定义为：在600纯电阻上耗散1mW的功率，电阻上的电压和流过的电流分别为：,于是，用dB来表示信号电平的公式为： 用dBm来表示功率电平的公式为： 我国现有仪器，有以1mW为零电平刻度的功率电平表，也有以0.7746V电压为零电平刻度的电压电平表，使用时应予以注意。,引用误差计量仪器的示值的绝对误差与仪器的特定值之比： 当xlim为计量仪器量程中的满刻度值（最大刻度值）时，x

3、lim称为的最大引用误差。 如果仪器的实际最大引用误差S%，则仪表的准确度等级为S级。 电工仪表的准确度等级分别为0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5和5.0共七级。,例：检定2.5级、上限为100V的电表时，发现全量程内的最大示值误差出现在50V刻度点，为2V，问：该电表合格否？测量70V电压时，最大相对误差可能为多少？ 解：该电表的最大实际引用误差为： 可见该电表合格。测量70V电压时，最大相对误差为：,例：某待测电压约为100V，现有0.5级0300V和1.0级0100V，两只电压表，问用哪只表测量比较好？ 解：使用0.5级0300V测时，最大相对误差： 使用1.0级0100V

4、测时，最大相对误差： 因此，选用1.0级0100V电压表可获相对较高的测量精度。,3.2 近似数的截取与有效数字,近似数的截取遵从“四舍六入五对半”的原则。即如果截取位之后的数值部分小于截取位的1/2，则截取后，截取位的数字保持不变；如果截取位之后的数值部分大于截取位的1/2，则截取后，截取位的数字增加1。 例：2.8144952.814 2.8145012.815,如果截取位之后的数值部分等于截取位的1/2，此时，若截取位为偶数，则截取后，截取位的数字保持不变；若截取位为奇数，则截取后，截取位的数字增加1。 例：12.5650012.56 12.5350012.54,有效数字是指一个近似数从

5、左边的第一位非零数起，到所截取的数字位为止，所包含的所有数字均为有效数字。 例：0.0541690 有效数字为6个； 1.0002591 有效数字为8个。,3.3 简单运算误差,3.3.1 加减法运算误差 1. 加法运算的误差 设 x1，x2的绝对误差分别为x1，x2， x1，x2的相对误差分别为,则x的绝对误差为 即 从而得到 x的相对误差为,3.3.2 减法运算的误差 设 则x的绝对误差为 x的相对误差为 即当x1，x2的值较接近时，可能导致x的值较大。 因此，一般应避免相差较小的数作减法运算。,3.3.3 乘除法运算误差,乘法运算的误差 设 则,除法运算的误差 设 则x的绝对误差为 x的

6、相对误差为,3.3.4 函数运算误差,设 则 所以,3.4 实际运算规则,一. 多个近似数（10）作加减运算时，小数位数较多的近似数，只需要比小数位数最少的哪个近似数多保留一位； 二. 若参加运算的各数属于同一量级，且第一位数的大小相差甚大时，为避免第一位数小的那个数的相对误差过大，可将其有效位数多保留一位； 例：27.64+98.1+11.123 =27.6+98.1+11.12 =136.8,三. 相乘运算时，以有效位数较少的为准； 例：,乘方或开方运算时，结果数与运算数的有效位数相同； 例：,五. 对数运算 对数值的有效数字位数只由尾数部分的位数决定。 例：,对数值的有效位数因此为4位,

7、尾数部分的位数为4位,六. 三角函数运算时，函数位的位数与角度误差相关： 角度误差 函数的有效位数 10 5 1 6 0.1 7 0.01 8 若运算结果是中间结果，则有效位数应比最后结果多保留一位； 八. 表示测量结果精度的参数，其有效位数一般为一位，最多为两位。,3.5 等精度测量的随机误差,3.5.1 随机误差的特性 一. 有界性 一定条件下的有限次测量结果中，随机误差的绝对值不超过某一界限； 二. 对称性 绝对值相等的正负出现的次数大致相等； 三. 单峰性（并非对所有随机误差都成立） 绝对值小的误差出现的次数多于绝对值大的误差出现的次数； 四. 抵偿性 随机误差的算术平均值随着测量次数

8、的无限增加而趋于零： 式中为测量次数,为单次测量的随机误差。,3.5.2 随机误差的主要概率分布正态分布,分布函数及图形 分布密度函数为： 式中， 分布密度函数； 随机误差； 测量的标准偏差，是评定随机误差的基本指标，取决于标准器具，仪器仪表，测量环境，测量人员以及被测对象等诸多因素。,下面，作出 图：,标准偏差越小，曲线越陡峭，误差分布越集中。,误差分布密度函数满足如下的归一化条件： 随机误差的算术平均值，即数学期望值为：,随机误差的方差（表征随机误差的分散程度）为：,绝大多数随机误差服从正态分布，但也有些按其它规律分布，如均匀分布，反正弦分布，三角分布等。但只要相互独立及量值微小，合成后仍

9、近似为正态分布。因此，正态分布是最重要的一种误差分布形态。,二正态分布的概率计算 两个基本概念： 1 置信区间即误差可能出现的区间。一 般设为 ，称为置信系数。 2 置信度即误差落在所设置信区间内的概率：,置信度可以按如下方式进行计算：,令 则 设 则,被称为正态分布积分，或称为拉氏函数，其值有表可查:,K K K K 0.000.00000.700.25801.400.41922.200.4861 0.050.01990.750.27341.450.42652.300.4893 0.100.03890.800.28811.500.43322.400.4918 0.150.05960.850.

10、30231.550.43942.500.4938 0.200.07930.900.31591.600.44522.600.4953 0.250.09870.950.32891.650.45052.700.4965 0.300.11791.000.34131.700.45542.800.4974 0.350.13681.050.35311.750.45992.900.4981 0.400.15541.100.36431.800.46413.000.49865 0.450.17361.150.37491.850.46783.200.49931 0.500.19151.200.38491.900.4

11、7133.400.49966 0.550.20881.250.39441.950.47443.600.499841 0.600.22571.300.40322.000.47723.80 0.499928 0.650.22421.350.41152.100.48214.00 0.499968,例：求 落在-， 内的置信度。 解：显然，K=1，即求。按定义：,还可求得 :,一般将 视为合理误差范围或误差极限。,3.6 随机误差的数字特征 随机误差可采用分布密度函数及其相应的分布曲线来表示。但在实际测量数据处理中，要确定误差的分布密度函数，既有一定困难，一般也是不必要的。其实知道了随机误差的数字特征

12、算术平均值与方差，就能明确地说明随机误差分布地特征。,3.6.1 算术平均值 对一个真值为Q的 量进行等精度n次测量： x1, x2, , xn, 得n次测量的算术平均值为：,因为,所以,从而有,得,根据随机误差公理（3）， ，则得：,实际上进行无穷多次测量是不可能的，因此真值实际上也不可能得到。然而可以认为，当测量次数适当大时，算术平均值是最接近真值的。,3.6.2 方差 方差是方均根误差的简称，也可称为标准偏差或标准差。在等精度测量列中， 单次测量的标准差按下式计算：,实际上，真值不可知，因而真差也无法获得。上式只有理论的意义，而无法实际应用。常用残余误差代替真误差，而得到方差的估计值。,

13、残余误差为：,又真差为：,式中， , 为算术平均值的真差。,进而 又 当n适当大时 接近零，又因,所以,即,得,贝塞尔（Bessel）公式,上式的意义在于，即使真差不知道，也能根据有限个 测量值的残差来求取随机误差方差的估计值。由此计 算出来的偏差称为标准偏差，一般记为 : 注意：s并不精密，其有效数字最多取两位，如果其首位为8或9，有效数字取一位即可。,3.6.3 算术平均值的方差,在多次测量中，由于算术平均值是最接近于被测量的真值，所以需要进一步分析算术平均值的精度。在有限次测量的条件下，算术平均值不等于真值。对于多组“多次测量”来说，各个测量列的算术平均值一般不相同。它们是围绕真值而随机

14、变动的，说明算术平均值也是一随机变量，并具有确定的分布。故算术平均值的精度也可由其方差 来评定。不难证明它与单次测量的方差的关系为：,显然，当测量次数越大时，算术平均值越接近被 测量的真值，测量精度也就越高。但当 以后， 已减少得非常缓慢。所以在一般精密测量中，等精度重复测量得次数多小于10次。要进一步提高测量精度，则需要采取其它措施来解决（如提高仪器精度，改进测量方法，改善环境条件等）。,例1：有两组测量数据如下，分别计算出算术 平均值及其标准偏差。 组 别 测 得 值 第一组 20.0005 19.9996 20.0003 19.9994 20.0002 第二组 19.9990 20.00

15、06 19.9995 20.0015 19.9994 解：第一组：,第二组：,可见，两组测量的算术平均值虽然相等，但标准差不一样。第二组的测量精度比第一组的低。,例2：已知 。问在不改变测量条件的情况下，要使被测量估计值的标准偏差达到0.04，需要测量多少次？ 解：以算术平均值作为被测量的估计值，则,3.7 随机不确定度,3.7.1 不确定度 由于误差的存在，对测量结果不能肯定的程度，被称为不确定度。常用测量结果与真值的差异程度来表征：,表明了真值可能出现的范围。越小，不确定度就越小。 反之亦然。不确定度常用标准偏差与置信系数之积表达：,3.7.2 随机不确定度 即由随机误差所引起的测量结果与

16、真值的差异。 （一）单次测量随机不确定度的确定。 设误差服从正态分布，令 （c表示服从正态分布的随机误差），则：,显然，不确定度与置信概率有关。为可靠地确定 真值地范围，给出地置信概率要适当。 注意到，c=3，n=370时，|3 的可能次数为1。,一般测量的次数不会超过几十次，故把 视为误差极限，也就是误差不可能或不应该超过的 界限。 (二） 平均值不确定度的确定,例：有测量列：29.18 29.24 29.26 29.27 29.25，求算术平均值和极限误差。 解： 测量结果的表达：,3.7 系统误差,3.7.1 系统误差分类 什么是系统误差偏离测量规定条件时或由于测量方法所引入的因素按某确

17、定规律引起的误差。即系统误差可以归结为一个或几个因素的函数。从理论上讲，这种规律是可以确知的。 二. 系统误差的主要特征 1. 产生在测量之前（或测量中），具有确定性； 2. 多次测量亦不能减弱和消除不具有抵偿性。,三. 系统误差的分类 恒正系统误差 恒定系统误差 恒负系统误差 系统误差 线形系统误差 变值系统误差 周期性系统误差 复杂规律系统误差,(一）恒定系统误差 指在整个测量过程中为一常量的系统误差。 零位误差，视差，标准仪器误差相对于被检定仪器的误差的影响等。 恒定系统误差只影响算术平均值，对残余误差没有影响。,（二）变值系统误差 1. 线形系统误差 指作线形递增/递减的系统误差。,例

18、：在标尺检定中，偏离标准温度而引起的测量误差。,2. 周期性系统误差 指呈现周期性变化的系统误差。 例：圆盘形指示仪表由于偏心所引起的误差。,3. 复杂规律变化的系统误差 是服从其它规律变化的系统误差的总称。因规律复杂，常用经验公式/曲线描述。 无论何种变值系统误差都对算术平均值及残余误差有影响。故它既影响误差的分布规律，又影响标准偏差的大小。,3.8 系统误差的一般处理方法 3.8.1 消除措施 （一）从产生根源上加以消除 即对可能产生系统误差的环节作仔细分析，在测量之前就将系统误差从产生根源上加以消除。 例如，防止测量过程中零位变动；选择正确的定位面或支承点，在外界条件比较稳定时进行测量等

19、。,（二）用修正方法消除系统误差 即预先将系统误差检定出来或计算出来，作出误差表或误差曲线，将实测值加上相应的修正值，即可得到不包含系统误差的测量结果。 例如，量块的实际尺寸不等于公称尺寸，可以预先将此误差检定出，在随后的测量中作为修正值对测量结果进行修正。 注意：即使经过修正后，可能也还会残留少量的系统误差，可作为随机误差进行处理。,3.8.2 恒定系统误差的消除方法 （一）替代测量法 对被测量测量后，用同一性质的标准量代替被测量进行同样的测量，使示值保持不变，用替代的标准量作为被测量的测量结果。 例1：设天平存在不等臂误差： 采用替代法进行称量： 得,例2：在用电桥测电阻时可使用替代法消除

20、其它桥臂上存在的系统误差。 首先将被测电阻接入电桥中使电桥达到平衡： 再用标准电阻Rn（可调）替代被测电阻Rx： 得 此时，Rx的测量精度只由Rn决定。,（二）异号测量法 对被测量测量一次后，改变某些测量条件（方向，极性等），进行再次测量，使得两次测量中的恒定系统误差大小相等，符号相反，再取平均：,例1. 空程误差的消除 第一次顺时针方向测量，读数为 第二次反时针方向测量，读数为则 则,（三）交换测量法 把被测量与标准量的位置互换，进行两次测量，使误差因素对测量结果起相反作用。 例1. 为消除不等臂系统误差在天平上进行的两次称量。 得,3.8.3 变值系统误差的减弱和消除方法 （一）线形系统误

21、差得消除对称测量法 如图所示，随着时间或其它因素变的变化，呈线形规律变化的系统误差，可选某一时刻为中心，则对称时刻的系统误差的平均值皆相等且等于中心时刻的系统误差：,对称法可以有效地消除随时间变化而产生的线形误差。不少误差都随时间变化，而且在短时间内均可以认为是线形规律。有时，按复杂规律变化的误差，也可近似地作为线形误差处理。因此，在一切有条件地场合，均宜采用对称法消除系统误差。,在电位差计中，标准电池的放电电流一般随时间呈线形降低，从而引起线形递减的系统误差。,如图所示，先将开关K与a端接通，调节电阻R1，使检流计G上的电流为零。设工作回路中的电流为： 得 然后将开关K与b端接通。工作电流已

22、成比例减少为I0+I2，即,在测量中做到使两次测量时间间隔相等，可得到： 即 得,(二) 周期性系统误差得消除半周期偶数法 即可以相隔半个周期进行两次测量，取两次测量的平均值，即可以有效地消除周期性系统误差。 周期性系统误差一般可表示为:,所以 例如，中心不重合引起的周期误差，就可以用半周期偶数法加以消除。此法广泛用于测角仪上。一般在度盘对径的两个刻度上个装一个读数显示装置，同时进行读数。,3.8.3复杂系统误差的消除方法 可用实时反馈修正的办法，来消除复杂的变值系统误差（也包括其它形式的变质系统误差和部分随机误差）。当查明某种误差因素时，应尽量找出此因素影响测量结果的函数关系，在测量过程中作

23、实时修正。,3.9 粗大误差的概念,粗大误差由于技术不熟练，测量时不小心或外界得突然干扰等原因所造成得测量误差。 粗大误差的主要剔除准则 1. 3准则（莱以特准则） 即当测量结果中某一数据得残余误差的绝对误差|3时，则剔除该数据。 注意：一般因|3而导致数据被剔除的可能性很小； 3准则必须重复运用，直到没有|3的情形为止； 3准则只宜用于重复测量次数较多的测量。一般n20。当n10时，3准则已起不到作用。,证明： 当n10时， 即不会出现残差大于3的情形。,格罗贝斯准则 将测量列排列成顺序统计量： 其中，左右x(1)与x(n)最有可能含有粗大误差。 格罗斯统计量： 具有相同、确切的分布。 在给

24、定显著水平（一般取0.05或0.01），若： 则认为统计量g(i)与应当服从的统计量g的分布存在显著差异，对应的x(i)含有粗大误差。式中g0(n,a)为统计量g(i)的临界值， g(i) g(i) ( ,n)。,格罗斯准则g0(n,a)数值表,例：对某量进行15次等精度测量，测量值如下： 20.42 20.43 20.40 20.43 20.42 20.43 20.39 20.30 20.40 20.43 20.42 20.41 20.39 20.39 20.40 设测量值中不含粗大误差，试判别测量列中是否含有粗大误差的测得值。 解（1） ：按3准则进行判断。 首先计算平均值：,再计算标准偏

25、差： 则 330.0330.099。 而第八个测得值的残差为： 即该测量值含有粗大误差，应予剔除。 再对剩余的14个测得值重复上述过程，可知均满足 ，故可判断这些测得值中不再含有粗大误差。,解（2）：按测得值大小，排序候得： x(1)=20.30, x(15)=20.43 上述两值可疑，由于 故首先怀疑x(1)可能含有粗大误差。 查表得g0(15,0.05)=2.41,显然,即第八个测得值20.30含有粗大误差，应予剔除。 对剩下得14个数据重复上述步骤。重新排序，得： 因 的残差更大，故先判断 是否含粗大误差，计算,查表得：g0(14,0.05)=2.37,则 所以，可判断 不含粗大误差，而

26、且各g(i)都小于1.31，因此可认为其余测得值也不含粗大误差。,3.9 误差的合成与分配 设间接测量量y与直接测量量x之间存在如下函数关系： 若x存在误差x，则y也必然有误差y，而且，yx与也有一定的函数关系。这就是误差的传递。 如果 而xi存在误差xi，则y由诸多xi决定形成，这就是误差的合成。 如果已对y提出要求，进而要分别具体确定对各xi的要求，这就叫误差的分配或误差的分解。,3.9.1 系统误差的合成,设 现以各直接测量量xi的恒定系统误差xi代替dxi，即可得到间接测量量的恒定系统误差： 注意：1恒定系统误差可 在传递前先进行修正，可视 具体情况而定； 2变值系统误差的合成非常复杂

27、，往往难以计 算。一般应在合成前，先修正或消除； 3复杂系统误差一般可作为随机误差来处理。,3.9.2 随机误差的合成,设 各直接测量量的标准偏差分别为： 可以证明，当各测量值的随机误差是相互独立时，且各直接测量量的测量次数足够大时，有：,3.10 测量误差的分配,误差分配时，一般应按照以下原则进行： 1. 按等作用原则进行误差分配。 因为， 式中， ，称为函数的局部误差。,等作用原则认为各个局部误差对函数误差影响相等，即： 因此， 从而有,2. 按可能性调整误差 若按等作用原则进行误差分配，则某些测量值的测量精度难以满足要求，或者必需采用十分贵重的精密仪器。在保证总体误差满足要求的前提下，可

28、以根据具体情况进行调整，即对某些量的测量误差适当扩大，对那些容易实现测量的误差项尽可能缩小，而对其余误差项不予调整。,例：測量一圆柱体体积，已知直径和高度的公称值为D0=20mm, h0=50mm,若要求体积测量的相对误差1%,试确定直径及其高度的测量精度。 解：由 按等作用原则分配误差，可得测量直径与高度的极限误差为：,经查，直径可用2级千分尺测量，在20mm测量范围内的测量极限误差为0.013mm；高度可用分度值为0.10mm的游标卡尺测量，在50mm测量范围内的测量极限误差为0.150mm。则用这两种量具测量的体积极限误差为：,因为 因此，可选用精度较低的量具。 现该用分度值为0.05mm的游标卡尺来测量直径和高度。在50mm测量范围内，其极限误差为0.08mm，这时直径测量的极限误差虽然超出按等作用原则分配所允许的误差，但可从高度测量允差的多余部分得到补偿，从而确保总体误差水平符合要求。,调整后的实际测量极限误差为： 结论：经调整后，用一把游标卡尺即可确保测