阶线性偏微分方程的分类.ppt

1、一、两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类与标准型,两个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式,(2.1.1),其中，,都是区域,上的实函数，,并假定它们是连续可微的。,引入下面二阶常系数线性偏微分算子,则(2.1.1)可简单地表示为,1 两个自变量方程的化简,一般形式：,（2.1.1）,则在非奇异变换下方程（2.1.1）变为,（2.1.2）,Jacobi 行列式,目的：,通过自变量的非奇异变换来简化方程的主部，从而据此分类。,非奇异,3,复合求导,数学物理方程,4,系数之间的关系,（2）,（1）,（3）,数学物理方程,5,其他系数之间的关系,（3*）,数学物理方程,（2.1.3）,可以看出，如果

2、取一阶偏微分方程,（2.1.4）,的一个特解作为,则,从而A11=0。如果取（2.1.4）的另一个特解为,则A22=0，这样方程（2.1.2）就可以简化。,一阶偏微分方程（2.1.4）的求解可以转化为常微分方程的求解，将（2.1.4）改写成：,如果将,看作定义隐函数,的方程，则,从而有：,（2.1.5）,8,假设,是方程,的特解，则关系式,是常微分方程,（2.1.4）,（2.1.5）,的一般积分。反之亦然。,引理,由此可知，要求方程（2.1.4）的解，只须求出常微分方程（2.1.5）的一般积分。,数学物理方程,9,定义,称常微分方程（2.1.5）为PDE（2.1.1）的 特征方程。,称（2.1

3、.5）的积分曲线为PDE（2.1.1）的 特征曲线。,（2.1.6）,数学物理方程,（2.1.5）,（2.1.5）的解为：,和,当,二阶线性偏微分方程为双曲型方程,当,二阶线性偏微分方程为抛物型方程,当,二阶线性偏微分方程为椭圆型方程,记,当,时,(2.1.6）式给出一族实的特征,曲线,取,则,，这时方程变为,若再作,则上述方程变为：,（2.1.7）,右端为两相异的实函数,双曲型方程的第一标准型,双曲型方程的第二标准型,双曲型PDE,抛物型PDE,由此得到一般积分为,由此令,数学物理方程,取与,函数无关的,作为另一个新的变量,由于,由此推出,数学物理方程,因此，方程（2.1.1）可改写为,抛物

4、型方程的标准型,而,数学物理方程,当,时,(2.1.6）式各给出一族复特征线,，,在该变换下：,且方程化为：,令,则有：,（2.1.9）,椭圆型PDE,右端为两相异的复数,5-1 二阶线性偏微分方程的分类,由前面的讨论可知，方程(2.1.1)通过自变量的可逆变换化为那一种标准形式，主要决定于它的主部系数。 若方程(2.1.1)的主部系数 在区域中某一点(x0，y0)满足,则称方程在点(x0，y0)是双曲型的；在邻域；在中,则称方程在点(x0，y0)是椭圆型的。,则称方程在点(x0，y0)是抛物型的;,相应地， (2.1.7)、(2.1.8)和(2.1.9)这三个方程分别称为双曲型、抛物型和椭圆

5、型(二阶线性)偏微分方程的标准形式。,2 方程的分类,如果方程在所讨论的区域,内每点都是,双曲型（抛物型或椭圆型），则称方程在区域内也是双曲型（抛物型或椭圆型）。,标准形式,弦振动方程（双曲型）描述波的传播现象，特性：对时间可逆；,一维热传导方程（抛物型）反映热的传导、物质的扩散等不可逆现象；,调和方程（椭圆型）描述平衡或定常状态；,讨论Tricomi方程的类型,例1 设,解 判别式,由此可得：在上半平面Tricomi方程为椭圆型，下半平面Tricomi方程为双曲型, 而在x轴上,Tricomi方程为抛物型.,例2：判断下面偏微分方程的类型并化简,解：,故,故该方程为双曲型偏微分方程，其特征方

6、程,或,故有,或,取新变量,则,，,代入原方程得：,即：,对常系数二阶PDE可进一步化简，消掉一阶偏导数项或常数项,令,代入上述方程得：,取：,例题3：把方程,分类并化为标准形式,5-1 二阶线性偏微分方程的分类,解：该方程的,故该方程是抛物型的。,特征方程：,从而得到方程的一族特征线为：,作自变量代换,(由于和必须函数无关,所以宜取最简单的函数形式,即=x 或=y),于是，原方程化简后的标准形式为：,特征的解：,例题4：判断下面偏微分方程的类型并化简,解：,特征方程,特征方程的解：,特征线：,令：,双曲型方程,例题5：求初值问题的解,解：,特征方程,特征方程的解：,特征线：,令：,双曲型方程

7、,方程化为,依次对两个变量进行两次积分，得通解为,由初始条件得,求出,从而原方程的解为,例6：判定下列二阶方程的类型,（1）,（2）,（3）,例7：补充例题,2.2、多个自变量的二阶线性偏微分方程的分类与标准型,n个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式,(2.2.1),其中，,都是区域,上的实函数，,并假定它们是连续可微的。,记（2.2.1）中二阶导数項,系数所构成的n阶矩阵为,通过合同变换，有,其中，矩阵B可逆，,正惯性指标p：,含1的个数,负惯性指标q：,含-1的个数,PDE(2.2.1)超双曲型的,PDE(2.2.1)双曲型的,PDE(2.2.1)超抛物型的,PDE(2.2.1)抛物型的,PDE(2.2.1)椭圆型的,通过合同矩阵B，