材料力学超静定(2).ppt

1、1,两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C处受扭转力偶矩Me作用，如图a所示。已知杆的扭转刚度为GIp。试求杆两端的反力偶矩以及C截面的扭转角。,例题 6-5,6-3 扭转超静定问题,扭转变形计算公式,2,1. 有二个未知的反力偶矩MA， MB，但只有一个独立的静力平衡方程,故为一次超静定问题。,例题 6-5,解：,3,2. 以固定端B为“多余”约束，反力偶矩MB为“多余”未知力。在基本静定系上加上荷载Me和“多余”未知力偶矩MB(如图c)；它应满足的位移相容条件为B截面的扭转角jB=0，利用叠加法可得,(c),例题 6-5,4,可由平衡方程求得为,3. 根据位移相容条件并利用物理关系得补充方程

2、,求得,例题 6-5,5,4. 杆的AC段横截面上的扭矩为,(c),例题 6-5,6,图a所示组合杆，由半径为ra的实心铜杆和外半径为rb，内半径为ra的空心钢杆牢固地套在一起，两端固结在刚性块上，受扭转力偶矩Me作用。试求实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩Ta和Tb，并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况。,例题 6-6,7,实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为Ta和Tb(图b)，但只有一个独立平衡方程 Ta+Tb= Me (1) 故为一次超静定问题。,例题 6-6,解：,8,2. 位移相容条件为实心杆和空心杆的B截面相对于A截面的扭转角相等。在图b中都用j表示（设A端固定）。,例题 6-

3、6,9,3. 利用物理关系由(2)式得补充方程为,例题 6-6,10,4. 联立求解(1)式和(3)式得：,例题 6-6,11,5. 实心铜杆横截面上任意点的切应力为,空心钢杆横截面上任意点的切应力为,切应力沿半径的变化情况如图c所示。,例题 6-6,由图c可见，在r = ra处，tatb，这是因为 Ga Gb 。,12,6-4 简单超静定梁,.超静定梁的解法,解超静定梁的基本思路与解拉压超静定问题相同。 综合考虑变形的几何方程、力和变形关系可求解多余未知力。 求解图a所示一次超静定梁时可以铰支座B为“多余”约束，以约束力FB为“多余”未知力。解除“多余”约束后的基本静定系为A端固定的悬臂梁。

4、,基本静定系,13,基本静定系在原有均布荷载q和“多余”未知力FB作用下(图b)当满足位移相容条件(参见图c、d) 时该系统即为原超静定梁的相当系统。,若该梁为等截面梁，根据位移相容条件利用物理关系(参见教材中的附录)所得的补充方程为,14,从而解得“多余”未知力,所得FB为正值表示原来假设的指向(向上)正确。固定端的两个约束力利用相当系统由静力平衡条件求得为,15,该超静定梁的剪力图和弯矩图亦可利用相当系统求得，如图所示。,该超静定梁可否取简支梁为基本静定系求解？如何求解？,A 点处转角为0,16,试求图a所示结构中AD杆内的拉力FN。梁AC和杆AD的材料相同，弹性模量为E； AD杆的横截面

5、积为A，AC梁的横截面对中性轴的惯性矩为I 。,例题 6-7,17,1.梁AC共有三个未知力(图b)FN，FB，FC ，但平面仅有两个平衡方程，故为一次超静定问题。,例题 6-7,解：,18,2. 把AD杆视为梁AC的“多余”约束，相应的“多余”未知力为FN。位移(变形)相容条件为梁的A截面的挠度wA等于杆的伸长量DlDA(图b)，即wA=DlDA。,例题 6-7,19,3. 求wA和DlDA,wA是由荷载产生的wAq(图c)和FN产生的wAF (图d)两部分组成，,例题 6-7,20,把图d所示外伸梁，视为由悬臂梁AB(图e)和简支梁BC(图f)两部分组成。,例题 6-7,21,4. 把wA

6、和DlDA代入位移(变形)相容条件得补充方程：,由此求得,例题 6-7,22,试求图a所示等截面连续梁的约束反力FA , FB , FC，并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁的弯曲刚度EI=5106 Nm2。,例题 6-8,23,1. 该梁有三个未知力FA、 FB 、 FC ，仅有两个平衡方程。故为一次超静定问题。,例题 6-8,解：,24,2. 若取中间支座B处阻止其左、右两侧截面相对转动的约束为“多余”约束，则B截面上的一对弯矩MB为“多余”未知力，相当系统如图b。,例题 6-8,25,相当系统的位移条件是B处两侧截面的相对转角等于零，即,例题 6-8,3. 查关于梁位移公式的附录可得,26

7、,4. 将qB qB代入位移相容条件补充方程，从而解得,这里的负号表示MB的实际转向与图b中所设相反，即为MB负弯矩。,例题 6-8,27,5. 利用图b可得约束力分别为,例题 6-8,28,绘出剪力图和弯矩图分别如图c,d所示。,例题 6-8,29,超静定梁多余约束的选择可有多种情况，例如，若以支座B为多余约束，FB为多余未知力，位移条件为wB=0，相当系统如图(e)所示。又如以支座C为多余约束，FC为多余未知，位移条件为wC=0，相当系统如图(f)所示。 位移条件容易计算的相当系统就是最适宜的。,例题 6-8,30,*II. 支座沉陷和温度变化对超静定梁的影响,超静定梁由于有“多余”约束存

8、在，因而支座的不均匀沉陷和梁的上,下表面温度的差异会对梁的约束力和内力产生明显影响，在工程实践中这是一个重要问题。,31,(1) 支座不均匀沉陷的影响,图a所示一次超静定梁，在荷载作用下三个支座若发生沉陷A 、B 、C，而沉陷后的支点A1 、B1 、C1不在同一直线上时(即沉陷不均匀时)，支座约束力和梁的内力将不同于支座均匀沉陷时的值。而支座均匀沉陷时梁的约束力和内力，由于支座沉陷量与梁的跨度相比是微小的，故可认为与支座无沉陷时相同。,32,现按如图a中所示各支点沉陷B C A的情况进行分析。此时，支座B相对于支座A 、C 沉陷后的点A1 、C1 的连线有位移,33,于是，如以支座B1作为“多

9、余”约束，以约束力FB为“多余”未知力，则作为基本静定系的简支梁A1C1(参见图b)在荷载 q 和“多余”未知力FB共同作用下应满足的位移相容条件就是,34,于是得补充方程,由此解得,其中的wB按叠加原理有(参见图c、d):,35,再由静力平衡方程可得,36,(2) 梁的上,下表面温度差异的影响,图a所示两端固定的梁AB在温度为 t0 时安装就位，其后，由于梁的顶面温度升高至 t1，底面温度升高至 t2，且 t2t1，从而产生约束力如图中所示。,由于未知的约束力有6个，而独立的平衡方程只有3个，故为三次超静定问题。,l,37,现将右边的固定端B处的3个约束作为“多余”约束，则解除“多余”约束后

10、的基本静定系为左端固定的悬臂梁。,它在上,下表面有温差的情况下，右端产生转角qBt和挠度wBt(见图c)以及轴向位移Bt。,38,如果忽略“多余”未知力FBx对挠度和转角的影响，则由上,下表面温差和“多余”未知力共同引起的位移符合下列相容条件时，图b所示的悬臂梁就是原超静定梁的相当系统：,39,式中一些符号的意义见图c、d、e。,40,现在先来求qBt和wBt与梁的上,下表面温差(t2- t1)之间的物理关系。,从上面所示的图a中取出的微段dx, 当其下表面和上表面的温度由t0分别升高至t2和t1时，右侧截面相对于左侧截面的转角dq 由图b可知为,上式中的负号用以表示图a所示坐标系中该转角 dq 为负。,41,将此式积分，并利用边界条件,得,根据上式可知，该悬臂梁因温度影响而弯曲的挠曲线微分方程为,42,从而有,至于温差引起轴向位移DBt则为,43,位移相容条件表达式中由“多余”未知力引起的位移所对应的物理关系显然为,44,位移相容条件,已得出的物理关系,45,将以上所有物理关系代入三个位移相容条件的表达式即可解得,46,47,解：把B支座去掉，代之以约束反力偶 ，,其矩为 转向为逆时针方向，则,变形协调条件：,A、B为两固定端支座，不允许其发生转动，故：,48,式中，,故：,（顺时