有限元经典PPT第5章.ppt

1、计算固体力学,64学时 研510 周二、周四9、10、11节,第五章 单元构造与分析,5.1 单元形状与节点数,三节点三角形单元 CST(常应变单元) 线性三角形单元,六节点三角形单元 线性应变三角形 二次三角形单元,八节点四边形单元,三角形单元网格划分简单； 常应变三角形单元对于弯曲，过刚；加密网格时可以收敛，收敛很慢；对于平面应变问题网格可能锁定；线性应变三角形元描写弯曲性能远优于CST单元 四边形单元剖分比较困难(但平面问题总的来说,剖分单元已可解决得很好) 四节点四边形单元属于Lagrange插值. 八节点四边形单元非完全二次元,属于Serendipty单元,四节点四边形单元 双线性位

2、移场,第五章 单元构造与分析,5.1 单元形状与节点数,四节点四面体单元 线性位移场 常应变,十节点四面体单元 完全二次位移场 线性应变场,八节点四面体单元 Lagrange插值,二十节点Serendipity单元,四面体单元划分网格简单，八面体单元划分网格困难得多，仍为研究前沿。,5.2 插值函数,记场函数(如位移u,v,w)为，采用多项式插值函数,计算该函数在单元节点的值，记为,实现了用场函数在节点的值和形函数来表示场函数在单元内的分布,矩形单元Lagrange族和Serendipty族,Lagrange插值法 一维单元Lagrange插值法 线性单元 二次单元,二维矩形四节点及九节点单元

3、可用下列方式。,类似可推出16节点元,未知数太多,带宽不等；可以推广至三维问题；,非完全二次函数,非完全四次函数,相应于中间点的形函数是个泡泡函数,内部自由度,Lagrange插值法 一维单元Lagrange插值法 线性单元 二次单元,三维六面体八节点及二十七节点单元可用下列方式。,可以推广至三维问题；,非完全三次函数,非完全六次函数,相应于中间点的形函数是个泡泡函数,内部自由度,利用性质,矩形单元Lagrange族和Serendipty族,Serendipty族单元 内部没有节点,但边界有中间点，有比较巧妙的构造方法,类似可推出12节点元,未知数太多,带宽不等,改进三角形单元,角点有旋转自由

4、度单元：应用于只有角节点的三角形单元；比CST单元性能好，比LST单元未知数少（每个单元9个未知数）为了和梁，板，壳连接需要，对于折板等计算特别有效。 构造角点有自由度的单元可以从LST单元退化而来，设想角点i和j发生旋转,i,j,k,m,非协调元,6非协调元，有六个形函数，但是只有四个节点；二个形函数相当在边界的泡泡函数，相应的四个未知数相应于内宾自由度，和其它相邻单元无关。相邻单元因此变形不协调，只在单元顶点联结。结构变形时，可以在单元间出现裂缝或迭合；,x,y,2a,2b,这样的单元比柔顺，因此虽然不协调，但给出的结果更好； 其结果从上面趋于真解；（协调元从下面趋于真解）,5.3 等参单

5、元,坐标插值,位移插值,等参单元的要点是：将任意物理空间坐标的单元变换到数学的自然坐标系中，采用的变换函数和描写场函数的单元形函数相同。如果位移映射的形函数阶数高，则称次参单元，否则称超参单元。,等参单元使得我们可以处理非矩形、具有曲边的单元，能够使有限元模型更适应形状复杂的物体，等参元覆盖所有的有限元类型。,单元刚度阵,应变矩阵,注意:1.需要雅可比矩阵及其逆阵;2.积分已经不可能解析地求得，必须数值积分；积分方法和精度成为讨论的一个新问题；虽然某些情况可得到解析解，但公式繁琐，编程复杂，特别是，计算的工作量可能不比数值积分的小.,数值积分,Gauss积分：,(1)一维Gauss积分,Hi为

6、Gauss权系数,i为Gauss积分点,对于线性函数，一点积分给出精确结果 对于二次函数，二点积分给出精确结果 对于三次函数，三点积分给出精确结果,四点积分：f1+f2+f3+f4,九点积分： 25(f1+f3+f7+f9)/81+40(f2+f4+f6+f8)/81+64f5/81,(3)三维Gauss积分,对于矩形单元、平面四边形单元、四面体单元和六面体单元（如果单元侧面是平面），则刚度阵的被积函数是多项式，可以用适当阶数的数值积分求得精确的积分值。 对于具有曲边曲面的单元，被积函数不是多项式，而是有理式，无法用有限阶的数值积分得到准确的积分值。提高积分阶数当然可以提高积分精度，但是，计算工作量增加很大。从计算工作量考虑，选择低阶积分是必要的。 选择低阶积分公式更重要的原因是：实践发现，精确的单元刚度阵太刚，采用低阶积分可以低估单元刚度，反而使计算更精确。但是，太低阶数的积分会使单元刚度阵具有零能模式，从而使单元不稳定。 还有其它积分格式可以利用