八年级数学 《乘法公式》教案 人教新课标版

1、第二单元 乘 法 公 式一、教 法 建 议抛砖引玉本单元学习乘法公式，它是在学习整式乘法的基础上进行的，所以在教学中可先安排如下一些题目让学生计算：(a+b)(a-b),(x-y)(x+y),(a+b)2,(a-b)2,(x+y)(x2-xy+y2),.在学生计算的基础上，引导学生导出公式，并进一步揭示这些公式的结构特征，使学生理解并掌握这些公式的特点，为正确运用这些公式进行计算打好基础.为了揭示公式的特征，要紧紧地采取对比的方式.紧扣例题与公式进行比较，让学生自己进行比较，发现公式特征.尽管问题千变万化，以千姿百态出现，通过对比，可发现它的特征不变，仍符合公式特征.根据公式，仍然可直接写出结

2、果.在对比中学，在对比中用，在对比中进行再比较，从基本类型的题目到变化多端的，从单一的题型到复杂的.从式中的系数、指数、符号、项数、数字等逐一对比，抓住公式的实质，达到娴熟驾驭，左右逢源，才能把公式应用自如.指点迷津从多项式的乘法到乘法公式是从一般到特殊的认识过程的典范.对它的学习与研究，丰富了学生知识，又开阔了视野.乘法公式应用广泛，涉及数学各个分支，是学习的重点.为了更好地学习它，应用它，在学习中，必须认真进行观察，分析，反复与例题进行对比.掌握每一个公式的结构特征，理解每一个公式的意义，认清公式中的字母可以表示任意的一个代数式（数，字母或单项式，多项式）.在应用公式时，首先观察是否符合使

3、用公式的条件，这是应用公式的关键.重要的是确定“两数”，只有确定两数，然后再看符合哪个公式特征，才能确定使用哪个公式.总之在学习乘法公式中，掌握公式特征，把握关键，抓住“两数”，辨别符号，决定公式，一举获胜.二、学 海 导 航思维基础五个乘法公式是本章也是本单元的核心，重中之重，只有熟练地掌握它，才能学好本单元知识.1.平方差公式：(a+b)(a-b)= ,这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于 .2.完全平方公式：(a+b)2= ,(a-b)2= ,这就是说，两数和（或）差的平方等于两个数的平方之和，加上（或 ） .请你分别用面积图表示，并用字母及符号标出：3.(a+b+c)2= 4.立

4、方和与立方差公式： (a+b)(a2-ab+b2)= (a+b)(a2-ab+b2)= 这就是说，两数和（或差）乘以它们的平方和与它们的积的差（或和），等于 .学法指要 【例1】 计算：1.(3x+2y)(3x-2y)2.(-5a-3b)(5a-3b)3.(-a2-b3)(b3-a2)4.思考：1.(a+b)(a-b)= ;2.-x-y=-( );3.3x-4y+5z=3x-( ).思路分析：本例必须抓住平方差公式的特征，紧扣公式特征找出“a”，“b”两数.如1.“a”为“3x”,“b”为“2y”;2.“a”为“5a”,“b”为“3b”,，由此应用平方差公式，直接写出结果.解：1.原式=(3x

5、)2-(2y)2 =9x2-4y22.原式=-(5a+3b)(5a-3b) =-(5a)2-(3b)2 =-(25a2-9b2) =9b2-25a23.原式=-(b3+a2)(b3-a2) =-(b3)2-(a2)2 =-(b6-a4) =a4-b64.原式 【例2】 计算：1.(4a-1)22.(-2x+3y)23.(-3x-y)24.(2x+5)2-(2x-5)2思考：1.(a+b)2= ;2.(a-b)2= ;3.(-2x+3y)2=(3y- )2;4.(-a-b)2=( )2;5.你会用文字叙述完全平方公式吗？思路分析：根据完全平方公式的特征，找出上式中的14的两数“a”与“b”，再根

6、据符号来确定用第1个公式或第2个公式，根据公式即可写出结果.如(-2x+3y)2可看成“-2x”与“3y”两数，也可看成(3y-2x)2中的“3y”与“2x”两数，这样便可选用两种不同公式，但结果一致，殊途同归.解：1.(4a-1)2=(4a)2-24a1+12 =16a2-8a+12.(-2x+3y)2=(-2x)2+2(-2x)3y+(3y)2 =4x2-12xy+9y2亦可这样求解： (-2x+3y)2=(3y-2x)2 =(3y)2-23y2x+(2x)2 =9y2-12xy+4x23.(-3x-y)2=(-3x)2-2(-3x)y+y2 =9x2+6xy+y2亦可这样求解： (-3x

7、-y)2=-(3x+y)2 =(3x+y)2=(3x)2+23xy+y2 =9x2+6xy+y24.(2x+5)2-(2x-5)2=(2x)2+22x5+52-(2x)2-22x5+52 =4x2+20x+25-4x2+20x-25 =40x亦可利用平方差公式解之： (2x+5)2-(2x-5)2=(2x+5)+(2x-5)(2x+5)-(2x-5) =(2x+5+2x-5)(2x+5-2x+5) =4x10 =40x第二种解法逆用了平方差公式，运算简单些.对公式的逆向应用，有一定难度，在这方面要加强训练，以提高逆向思维能力.【例3】 计算：1.199920012.3.1022思考：1.(a-

8、b)(a+b)= ;2.(a+b)2= ;3.(a-b)2= ;4.1999=2000- ;2001=1+ .思路分析：这是三道数字计算题，直接计算，很麻烦，略加变形，便可转化为符合平方差公式或完全平方式形式，既简捷又新颖.解：1.19992001=(2000-1)(2000+1) =20002-12=-1 =2. 3.102=(100+2)2 =1002+21002+22=10000+400+4 =10404或1022=1022-22+22 =(102+2)(102-2)+4 =104100+4 =10404【例4】 计算：1.(a-5)(a2+5a+25)2.(2x+3)(4x2-6x+9

9、)3.(-a-b)(a2-ab+b2)4.(x+y)(x-y)(x2+xy+y2)(x2-xy+y2)思考：1.(a+b)(a2-ab+b2)= ;2.(a-b)(a2+ab+b2)= ;3.用文字语言叙述立方和及立方差公式你会吗？思路分析：立方和及立方差公式的特征必须了如指掌.将习题与公式特征相对比，可发现14题都符合立方和与立方差公式的特征，应用公式可旗开得胜.解：1.原式=(a-5)(a2+a5+52) =a3-53 =a3-1252.原式=(2x+3)(2x)2-2x3+32 =(2x)3+33 =8x3+273.原式=-(a+b)(a2-ab+b2) =-(a3+b3) =-a3-b

10、34.原式=(x+y)(x2-xy+y2)(x-y)(x2+xy+y2) =(x3+y3)(x3-y3) =(x3)2-(y3)2 =x6-y6或原式=(x-y)(x+y)(x2+y2-xy)(x2+y2+xy) =(x2-y2)(x2+y2)2-(xy)2 =(x2-y2)(x4+x2y2+y4) =(x2)3-(y2)3 =x6-y6思维体操 【例1】 已知a+b=3,ab=-4，求 1.a2+b2;2.a3+b3,3.a4+b4思考：1.已知a+b=3,ab=-4，根据现有知识你能求出a,b的值吗？ 2.a、b的值无法求出，你又如何将以上13的问题转化为“a+b”与“ab”的形式？ 3.

11、你能知道完全平方公式有何特点？借助完全平方公式是否可将上述问题转化？思路分析：由a2+b2这一特征，使我们联想完全平方公式“(a+b)2=a2+2ab+b2”由此变形为“a2+b2=(a+b)2-2ab”，显然可将1解决，由此进行探索，便可打开思路.解：1.a2+b2=a2+2ab+b2-2ab =(a+b)2-2ab a+b=3,ab=-4 a2+b2=32-2(-4)=172.a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) =(a+b)(a2+2ab+b2)-3ab =(a+b)(a+b)2-3ab =(a+b)3-3ab(a+b) a+b=3,ab=-4 a3+b3=33-33(-4) =2

12、7+36=633.a4+b4=a4+2a2b2+b4-2a2b2 =(a2+b2)2-2(ab)2 =(a2+2ab+b2)-2ab2-2(ab)2 =(a+b)2-2ab2-2(ab)2 a+b=3,ab=-4 a4+b4=32-2(-4)2-2(-4)2 =(9+8)2-216 =289-32 =257由上可知，在无法直接利用公式的情况下，我们采取“配凑法”进行，通过配凑向公式过渡，向已知转化，架起了已知与未知之间桥梁，顺利到达“彼岸”.在解题时，善于观察，捕捉习题特点，联想公式特征，便易于点燃思维的火花，找到最佳思路.【例2】 计算：(2x-3y-1)(-2x-3y+5)思考：1.本例可

13、利用平方差公式计算吗？ 2.-2x-3y+5=2-3y-( ); 3.2x-3y-1=2-3y+( );4.通过2，3两个步骤的变形是否符合平方差公式的特征？可直接利用平方差公式写出结果吗？思路分析：从本例的结构特征与平方差公式特征有相近之处，但直接应用公式又行不通，这时必须创造条件，如：5=2+3，-1=2-3这样重新组合，改变原来面貌，向公式靠拢，便出现了符合平方差公式的特征，从而利用公式写出运算结果.解：原式=(2x-3y-3+2)(-2x-3y+3+2) =(2-3y)+(2x-3)(2-3y)-(2x-3) =(2-3y)2-(2x-3)2 =(4-12y+9y2)-(4x2-12x

14、+9) =4-12y+9y2-4x2+12x-9 =9y2-4x2-12y+12x-5【例3】 已知3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2，求征：a=b=c.思考：1.(a+b+c)2= ;2.(a+b)2= ;3.(a-b)2= ; 4.(a+b+c)2可转化为(a+b)+c2吗？思路分析：从试题的结构形式来看，它与完全平方公式有着千丝万缕联系.必须确定应用完全平方公式作为“侦察兵”，摸清“线索”，便可胸有成竹.现探索如下.证明： 3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2 3a2+3b2+3c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0

15、(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ca+a2)=0 (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0由非负数的性质可知： (a-b)2=0,(b-c)2=0,(c-a)2=0 a-b=0,b-c=0,c-a=0 a=b,b=c,c=a a=b=c又证：欲证a=b=c即证：a=b,b=c,c=aa- b=0,b-c=0,c-a=0(a-b)2=0,(b-c)2=0,(c-a)2=0(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ca+a2=02a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=03a2+3b2+3c2-2ab-2bc-2

16、ca=a2+b2+c23a2+3b2+3c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2以上每步可逆.(证毕)三、智 能 显 示心中有数乘法公式是一种特殊形式的乘法，是通过多项式的乘法，把特殊多项式及其相乘的结果写成公式形式并加以应用的.为此，必须理解五个乘法公式，并掌握这五个公式的结构特征，才能因题而异，更好地应用，灵活并简捷地计算某些数的积，快速选取公式，提高运算能力，提高数学素养.动脑动手计算：1.(a+b)2+(a-b)2+(-2a-b)(2a-b)2.5(m-n)(m+n)-2(m+n)2-3(m-n)23.(x-y)(x+y)2-xy+(x+y

17、)(x-y)2+xy4.5.先化简，再求值：,其中创新园地 1.试确定数3(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1的末位数字.2.已知a-b=4,b-c=6.求a2+b2+c2-ab-bc-ca的值.3.计算：4.若a+b+c=0,a2+b2+c2=1,求a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)的值.5.已知，求的值.四、同 步 题 库一、 填空题1.(8x2-5y3)(8x2+5y3)= .2.(a-b)(-a+b)(a+b)(-a-b)= .3.= .4.(x+1)(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)= .5.= .6.x2+x+ =(x+ )27.边长为

18、a厘米的正方形，若边长增加5厘米，则它的面积增加了 .8.若一三角形的底为，高为，则此三角形的面积为 .9.19992-20001998= .10.若x2+8x+18-2k是完全平方式，则k= .二、 选择题11.下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是 . （A）(x-y)(y-x) （B）(2ab-3d)(2ab-3c) （C）(a+bx)(bx-a) （D）(mx+ny)(nx-my)12.下列运算中，正确的是 . （A）(x-y)(-x+y)=x2-y2 （B）(-x+y)(-x-y)=-x2-y2 （C）(2x+y)(2x-y)=2x2-y2 （D）(-2x-y)(y-2x)=4x

19、2-y213.要使代数式4a2-12a成为一个完全平方式，则应加上 . （A）3 （B）9 （C）225 （D）3614.要使(a-b)2变成为(a+b)2，需加上 . （A）2ab （B）3ab （C）4ab （D）015.已知x+y=1,-x2+xy-y2=1，则x3+y3= . （A）1 （B）-1 （C）1 （D）016.下列代数式结果为a2+ab+b2的式子为 . （A）(a+b)2 （B）(a-b)2 （C）(a+b)2-ab （D）(a-b)2+2ab17.已知x+y=3,xy=2,则x2+y2等于 . （A）5 （B）6 （C）13 （D）2518.已知a-b=m,ab=n,则

20、(a+b)2等于 . （A）m2-n （B）m2+n （C）m2+4n （D）m2-4n19.a4+a2b2+b4+M=(a2-b2)2，则M为 . （A）-3a2b2 （B）-2a2b2 （C）-a2b2 （D）a2b220.当x取任意实数时，代数式x2-2x+2的值为 . （A）大于0 （B）小于0 （C）等于0 （D）不能确定三、 计算题21.0.981.0222.501223.(xn+2)(xn-2)24.(3x+2)2(3x-2)225.(2x-y)22x(y+2x)+y222627.(x+y)2(x-y)2(x4+x2y2+y4)228.29.(3a-2b)2-(3a+2b)230

21、.(x-2y+1)(x+2y-1)-(x+2y)(x-2y)四、 解答题31.已知,求的值.32.已知x+y=3,x3+y3=9.求xy,(x+y)2(x-y)2的值.33.若a+b=1，求a3+b3+3ab的值.34.证明四个连续整数的积加上1是一个整数的平方.35.代数式2x2+3y2-8x+6y+1的最小值是多少？此时x，y各是什么数？36.已知n为正整数，且47+4n+41998是一个完全平方数，求n.37.x(x2+x)-(x-1)(x+3)-(x+1)(x2-x+1),其中x=-2(先化简,再求值)38.(x2-4x+16)(x+4)-x(x2-4x)=4(x+1)2(解方程)39

22、.两个正方形的边长之和为36厘米，面积之差为72平方厘米，求这两个正方形的边长.40.已知a=-2000,b=1999,c=-1998.求a2+b2+c2+ab+bc-ac的值.参 考 答 案动脑动手1.原式=a2+2ab+b2+a2-2ab+b2-(2a+b)(2a-b) =2a2+2b2-(4a2-b2) =2a2+2b2-4a2+b2 =3b2-2a22.原式=5(m2-n2)-2(m2+2mn+n2)-3(m2-2mn+n2) =5m2-5n2-2m2-4mn-2n2-3m2+6mn-3n2 =-10n2+2mn3.原式=(x-y)(x2+2xy+y2-xy)+(x+y)(x2-2xy

23、+y2+xy) =(x-y)(x2+xy+y2)+(x+y)(x2-xy+y2) =x3-y3+x3+y3 =2x34.原式 5.原式=(8x3+4x)+(8x2+1)(8x3+4x)-(8x2+1) =(8x3+4x)2-(8x2+1)2 =(64x6+64x4+16x2)-(64x4+16x2+1) =64x6+64x4+16x2-64x4-16x2-1 =64x6-1当时上原式 创新园地1. 1=2-1,3=2+1. 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1 =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1

24、)+1 = =(264-1)+1 =264 21,22,23,24,25,26,27,28的末位数是2,4,8,6,2,4,8,6,由此发现,2,4,8,6四个数以4为周期重复出现，而644=16 264的末位数字为6.2. a-b=4,b-c=6 a-c=(a-b)+(b-c)=4+6=10 c-a=-10代入上式，得 又解： a-b=4,b-c=6 a-c=a-b+b-c=10 3.原式 又解：原式 4.原式=ab+ac+bc+ab+ac+bc =2ab+2bc+2ac a+b+c=0,a2+b2+c2=1 (a+b+c)2=0 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=0 2ab+2ac

25、+2bc=-(a2+b2+c2)=-1即a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)=-1又解：a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)=ab+ac+bc+ab+ac+bc =2ab+2bc+2ca+a2+b2+c2-1(由于a2+b2+c2=1) =(a+b+c)2-1 (由于a+b+c=0) =-15.原式 又解： (a+b-c)2=12=1 a2+2ab+b2-2ac+c2-2bc =1同步题库一、 填空题1.64x4-25y6 2.a4-2a2b2+b4 3. 4.x6-1 5. 6. 7.(10a+25)cm2 8.平方单位 9.1 10.1二、 选择题11.C 12.D 13.B 14.C 15.B 16.C 17.A 18.C 19.A 20.A三、 计算题21.0.981.02解：0.981.