同济大学微积分第三版课件第二章第十一节.ppt

1、第十一节 曲线的曲率,本节要点,本节引入平面曲线曲率的概念并给出相应的计算方,一、曲率的概念,二、曲率的计算公式,法.,1.问题的引出,在下图中, 我们看到弧段,到点 再到点 时,一、曲率的概念,得比较比较厉害.,大的差异.,比较平坦, 而弧段 弯曲,点沿这段弧从点 到,切线所转过的角有较,即动,但是, 转角的大小还不能完全反映曲线的弯曲程度.,例如在下图中, 两段弧 与 有相同的切线转,角, 但曲线的弯曲程度则是不同的.,2.曲率的概念,则 的弧长为,设平面曲线 是光滑的, 在 上取一点 作为度量弧,度的基点, 设点 是曲线上任意一点, 弧 的弧长,为 点 是曲线 上的另外一点, 弧 的弧长

2、为,点 处切线的倾,角为 处切线的倾角为,切线的转角为,称 为弧段 的平均曲率, 记为 即,若当 时, 平均曲率的极限存在, 则称此极限为,曲线 在点 处的曲率, 记为 即,从而曲率,即: 直线上任意点处的曲率为零.,例1 对直线而言, 动点从 到 相应的切线的转角,为 则,因而,此说明圆周上每一点的曲率相同,例2 设曲线是半径为 的圆, 则 平均曲,率为,且等于半径的倒数.,二、曲率的计算公式,设曲线的直角坐标方程为 即曲,线是光滑的. 在曲线上取定点 作为度量弧长,的基点, 并且设曲线在区间 上对应的一段弧长为,曲线上的点 与,之间的一段弧长为,而线段 的长度为,并注意到,因,又因, 即,

3、从而,由此即得:,其中:,若曲线 由参数方程,则,例3 求 在任意点处的曲率.,解 因,由计算公式得曲线在任一点处的曲率为,注意到.,此说明当,或 曲线就越平坦.,例4 计算抛物线 上任意一点处的曲,解 因 代入公式得,由于在上式中, 分子为常数, 故当 时, 曲率,达到最大, 即当 曲率取最大值, 此时, 对,率, 并求出曲率最大处的位置.,应曲线上的点为抛物线的顶点.,曲率圆与曲率半径,设曲线 在点 处的曲率为 作出,点 处曲线 的法线, 并且在曲线凹向一侧的法线上取,点 使,以 为圆心, 为半径作圆,称该圆为曲线 在点 的曲率,圆, 为曲线 在 处的曲率,中心, 半径 称为曲线 在点 处

4、的曲率半径.,由定义可知, 曲线 在点 处与其曲率圆有相同的切,线与曲率, 并且在点 的邻近处有相同的凹向.,例5 求曲线 上的点, 使曲线在该点的曲率为最,解 由例3, 知曲线在任意点的曲率为,求导得,大, 并求相应的曲率圆.,的图形,令,曲率半径为 点的坐标为 法线斜,率为 法线方程为,此时曲率为,在法线上求一点, 使该点与所给点的距离等于半径. 即有,将法线方程代入, 则有,得 从而得到圆心坐标为,因而曲率圆方程为,例6 铁路弯道的缓和曲线,曲率是零, 而半径为 的圆弧的曲率是 如果直道,圆弧形的（称为主弯道）. 为了使列车在转弯时既平稳,又安全, 除了必须使直道与弯道相切外, 还须考虑轨道,曲线的曲率在切点邻近连续地变化. 我们知道, 直线的,与圆弧直接相切, 则在切点处曲率有一跳跃度. 只有,当 充分大, 列车在转弯时才显得比较平稳. 但这并不,符合实际. 故需要在直道和弯道之间加一段称作缓和曲,线的弯道, 才使得铁轨的曲率连续地从零过度到,铁路弯道的主要部分是呈,圆弧道（主弯道）,直道,缓和弯道,目前一般采用采用三次抛物线作为缓和曲线. 在上图,中, 以 表示直道, 表示半径为 的圆弧弯,道, 表示缓和弯道, 设 点的坐标为 并设,的方程为 其中 为缓和曲线 的长度,是待定常数.,由