数模选修课-传染病与微分方程稳定性.ppt

1、一、传染病模型,建立传染病要考虑的因素非常多，如传染速度、医疗能力、死亡、新生人口数量、人口年龄性别结构等。具体到不同的疾病，还有传播途径、发作速度等问题。,此外，传染病模型可以参照用于讨论计算机病毒的传播特征等方面。,传染病爆发期间，感染人数会怎样变化？哪些因素对其传染效率的影响最大？,模型目标,问题,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律，用机 理分析方法建立模型,模型假设,基本假设：传染病是由病人通过“接触”健康人进行传播的. 疾病流行区域内的人分为三类：S类(易感人群)；I类(病人)；R类(移出者)。 为简

2、单起见，假设本地区总人口不变，为N。,S I R,1、SI模型（只考虑S和I两类人）,(1) 人群个体之间没有差异。病人与易感者在人群中混合均匀，记s(t)为t时刻健康人占总人口的比例，i(t)为t时刻病人的比例，则s(t)+ i(t)=1。,(2)人群数量足够大，s(t)和i(t)可以视为连续且可微的。 (3) 每个I类人每天“有效接触”的人数为常数 。 (4)不考虑出生与死亡，以及人群的迁入迁出因素。,构造模型,令t 0，得到微分方程：,这个模型可以用于预报传染病爆发早期，患病人数的发展规律，并预测传染高峰的时间。,SI模型图形分析,病人比例随时间的变化规律 病人数增长速率与病人数的关系,

3、增派防疫、医疗人员,采取放假、隔离等措施,普及防疫措施、知识,调整临床医疗策略,SI模型结果分析,这个模型的缺陷是显而易见的. 比如t +时，i(t) 1，这表明本地区最后所有人都会被感染。出现这种结果的原因是假设系统中只有两种人，即病人和易感人群，而且没有考虑病人会被治愈的因素。,1.假设(前面四条都和模型A一样，再添加一条) （5）病人以固定的比率痊愈，再次成为易感人群。每天被治愈的病人数占病人总数的比例为。,2、SIS模型（可治愈但不免疫模型）,表示日治愈率，表现的是本地区的医疗水平，所以1/就可以表示传染病的平均感染期，也是一个病人从发病到被治愈经历的时间。,根据假设5，Logisti

4、c模型被修改为：,构造模型,定义一个常数=，根据和1/的定义，就是一个病人在整个患病期间有效接触的平均人数，这在模型里被称为接触数。将代入方程中，得到,求解这个方程，得到解为,模型求解,1时，t +则 i(t) 1-1/。,画出解的图象为 ：,1，t +时 i(t) 0.,= ,模型结果分析,1，t +时 i(t)0.,= ,1、假设：这里的假设类似于模型B，只是引入R类人群。分别记s(t)、i(t)、r(t)为病人、易感人群、移出者在总人口中所占的比例。s(t)+ i(t)+ r(t) = 1。另外，日接触率，日治愈率。,3、SIR模型（免疫模型）,根据假设，模型被修正为,初值条件为i(0)

5、 = i0，r(0) = r0，s(0) = s0。,注意：此方程组无法求解析解。,可以求数值解,模型求解,采用常微分方程定性理论的分析办法，将方程组转化成下面的形式：,其中s0，i0且s+i1。,这个方程是可以求解析解的。,下面我们来看随着时间的推移，s(t)、I (t)、r(t)的变化规律。 首先，t +时，分别以s , i , r记各自的极限，这些极限 都存在。,模型分析,i = 0 ?（用反证法） 假设i 0 ，那么必然有 i = 0。 根据极限的定义，对于充分大的t，都应该有i(t)/2，把这个结论代入方程组。,模型分析,dr/dt=i /2,这会导致r(t)+，这跟上面r(t)的极

6、限也存在的结论有矛盾。,所以只能有： i = 0 。 也就是说传染病最终将消失。,其次，考虑随着t的变化，i-s平面上解的轨线变化情况。大概的走势图为：,模型分析,=,1/是一个边界点，为了让传染病不蔓延，需要调整s0和1/。具体的方法：一是降低s0，如接种疫苗，使S类人群直接变成R类； 二是提高1/使之大于s0，=/,也就是降低而提高，强化卫生教育和隔离病人，同时提高医疗水平。,模型分析,对参数的估计： 令解两端同时取t+，因为 i = 0 ，得到,参数估计,根据历史数据和此公式就可以得到的估计值。,关于传染病模型，我们还可以进一步考虑更复杂的情形，如考虑出生率、死亡率、防疫措施的作用、潜伏

7、期等。,其他类型的传染病模型,SIES模型健康染病潜伏期健康不免疫 SIER模型健康染病潜伏期移出系统 SIRS模型健康染病短时免疫健康(易感) 考虑抵抗能力 考虑地域传播 考虑传播途径(接触、空气、昆虫、水源等),传染病模型本质上就是状态转移的一个速度方程，如果具有多个状态，则需要多个方程组成的方程组。 因此完全可以采用其他形式的状态转移模型加以描述。 采用常微分方程的主要优势在于分析方法和计算方法都比较成熟，更容易得到丰富的结论。,对象仍是动态过程，建模目的变成了时间充分长以后会如何？即研究事物最终的发展趋势。,借助微分方程稳定性理论，不求解微分方程，描述事物某些特征的最终稳定状态。,三、

8、稳定性模型,比如，商品的价格与其价值的变化关系；食肉动物与草食性动物数量的变化规律；侵入人体的病菌与白血球的数量变化关系；投入一粒石子的池塘水面振幅变化规律。,随着时间的推移，最终的结局是什么？,事物发展的稳定与不稳定,时间,这些现象在现实中都有实用背景和研究价值,事物的某些特征,一阶微分方程组,首先求方程组的平衡点：,其次将方程组线性化：,其系数矩阵为：,p 0 且 q 0 时平衡点 P0 稳定；,p 0 或 q 0 时平衡点 P0 不稳定.,设同一环境中有甲、乙两个种群，x1(t)、x2(t)分别记t时刻甲、乙种群的数量；r1、r2为各自固有的增长率，N1、N2为各自环境最大容量。据此建立

9、下面的模型：,其中1，2 是非常关键的指标，反映一个种群对另 一种群的竞争能力。,案例：生物种群的竞争模型,稳定性分析（竞争的结局）,得到四个平衡点： P1(N1,0), P2(0,N2), P3(0,0),= f = 0,= g = 0,p 0 且 q 0 时 P0 稳定.,p 0 或 q 0 时 P0 不稳定.,21 (11),11 (21),不稳定,11， 21,p0而且q0,P1(N1,0), P2(0,N2), P3(0,0),当稳定性定理无法给出全部稳定性条件时，我们需要结合使用几何方法。,1、 11,x2,x1, = 0, = 0,(0,N2),(N1,0),S1,S2,S3,几何分析表明，此时P1(N1,0), 稳定。,2、 11，21,x2,x1, = 0, = 0,(0,N2),(N1,