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文档简介
1、第二章流体静力学,第一节、静止流体中应力的特性 第二节、流体平衡微分方程 第三节、重力场中流体静压强的分布规律 第四节、流体的相对平衡 第五节、液体作用在平面上的总压力 第六节、液体作用在曲面上的总压力 第七节、潜体和浮体的平衡与稳定,本章学习要点:作用在流体上的力、静止流体中应力的特性、 流体平衡微分方程、等压面、静止液体和相对静止液体压强的分布、压强的表示方法、液体作用在平面及曲面壁上的静水总压力、压力中心。,第一节、 静止流体中应力的特性,一、基本概念 (一)静压力 静止流体对受压面所作用的全部压力。 (二)静压强 受压面单位面积上所受的静压力。 静止流体表面应力只能是压强(压应力),流
2、体不能承受拉力,且具有易流动性。 二、静止流体中应力的特性 (一)压强的基本特性: 静压强的方向垂直指向受压面。或者说静压强的方向沿着受压面的内法线方向。 为了论证这一特性,在静止流体中任取截面NN将其分为、两部分,取为隔离体,对的作用由NN外面上连续分布的应力代替(图21)。,(二)静压强的特性 静压强的大小与作用面的方位无关,即在仅受重力作用的静水中,任意一点处各个方向的静压强均相等。即有: (2-1),证明:从平衡状态下的流体中取一微元四面体OABC,如图所示取坐标轴(如图22)。 由于液体处于平衡状态,则有 ,即各向分力投影之和亦为零,则: (22) x方向受力分析:表面力: (23)
3、,当四面体无限地趋于O点时,则dxO,因此, 类似地有: 而 是任意选取的,所以同一点静压强大小相等,与作用面的方位无关。 说明:(1)静止流体中不同点的压强一般是不等的,同一点各个方向的静压强大小相等。,n为斜面ABC的法线方向质量力: (2-4) (2-5),(3).理想流体运动流体时,由于=0,不会产生切应力,所以理想流体动压强呈静压强分布特性。,(2).运动状态下的实际流体,流体层间若有相对运动,则由于粘性会产生切应力,这时同一点上各向的压强不再相等。流体动压强定义为三个互相垂直的压应力的算术平均值, 即 (2-6),第二节、 流体平衡微分方程,一、流体平衡微分方程欧拉方程 1.欧拉方
4、程 在平衡流体中取一微元六面体,边长分别为dx, dy, dz, 设中心点的压强为p(x, y, z)=p,对其进行受力分析(如图23): y向受力: 表面力: 质量力:,根据平衡条件,在y方向有Fy=0,即:,整理得: (2-8),(2-7),流体平衡微分方程(即欧拉平衡微分方程,简称为欧拉欧拉方程):,(2-9),2.物理意义 处于平衡状态的流体,单位质量流体所受的表面力分量与质量力分量彼此相等。压强沿轴向的变化率( )等于该方向上单位体积内的质量力的分量 ( 、 、 )。,二、平衡微分方程的全微分式,为对式(29)进行积分,将各分式分别乘以 、 、,然后相加,得(2-10),压强 是坐标
5、的连续函数,由全微分定理,上式等号左边是压强力的全微分。,(2-11) 上式是欧拉方程的全微分表达式,也称为平衡微分方程的综合式。通常作用于流体的单位质量力是已知的,将其代入式(211)进行积分,便可求得流体静压强的分布规律。,三、等压面 1.等压面 压强相等的空间点构成的面(平面或曲面)称为等压面, 例如静止液体的自由表面。 2.等压面的性质:平衡流体等压面上任一点的质量力恒正交于等压面。,(2-12),运用平衡微分方程的综合式,证明等压面的这一重要性质,即等压面与质量力正交。 证明:如图24,设等压面如图,因面上各点的压强相等(pC), 即 ,代入式(211),得: 式中 ,则等压面方程为
6、,以X、Y、Z为等压面上某点M的单位质量力 在坐标x、 y、z方向的投影,dx、dy、dz为该点处微小有向线段 在坐标x、y、z方向的投影,于是: 即 和 正交。这里 在等压面上有任意方向,由此证明,等压面与质量力正交。 由等压面的这一性质,便可根据质量力的方向来判断等 压面的形状。例如,质量力只有重力时,因重力的方向铅垂向下,可知等压面是水平面。若重力之外还有其它质量力作用时,等压面是与质量力的合力正交的非水平面。常见的等压面有:自由液面和平衡流体中互不混合的两种流体的交界面等。,第三节 重力场中流体静压强的分布规律,一、液体静力学的基本方程 1.基本方程的两种表达式 在同一种均质的静止液体
7、中, 任意点的静压强,与其淹没深度 成正比,与液体的重度成正比, 且任一点的静压强的变化,将等 值地传递到液体的其它各点 重力作用下静止流体质量力: 代入流体平衡微分方程的综合式:,(2-14),1、在重力作用下的静止流体,选直角坐标系为Oxyz,自由液面的位置高度为z0,压强为p0, 液体中任意一点的压强为 质量力只有重力,X0,Y0,Zg 代入公式: 得到,由边界条件z=z0,p=p0可得:,在自由液面上有: , , 由此可得水静力学基本方程: 或 2. 连通器原理 帕斯卡连通器原理简单称为连通器原理:在仅受重力 作用下的均质、连通、静止的液体中,水平面就是等压面。 仅受重力作用下,静止流
8、体中某一点的静压强随深度 按线性规律变化。 仅受重力作用下,静止流体中某一点的静压强等于表 面压强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。,自由表面下深度h相等的各点压强均相等只有重 力作用下的同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。 推广:已知某点的压强和两点间的深度差,即可求另 外一点的压强值。 (215) 二、重力作用下静流体力学基本方程 1.重力作用下静流体力学基本方程 因为 所以,静流体力学基本方程又可写为: 或 (216),2.静流体力学基本方程的意义: .位置水头z:任一点在基准面以上的位置高度,表示 单位重量流体从某一基准面算起所具有的位置势能,简称比 位能,或单位位能或位置水头。
9、 .测压管水头p/:表示单位重量流体从压强为大气压 算起所具有的压强势能,简称比压能或单位压能或压强水头。 .测压管水头( ):单位重量流体的比势 能,或单位势能或测压管水头。 仅受重力作用处于静止状态的流体中,任意点对同一基 准面的单位势能为一常数,即各点测压管水头相等,位头增 高,压头减低。在均质(=常数)、连通的液体中,水平面 (z1 = z2=常数)必然是等压面( p1 = p2 =常数)。,二、气体静压强的计算 在不考虑压缩性时,式(214)也适用于气体。但由于气体的密度很小,在高差不很大时,气柱所产生的压强很小可以忽略。式(214),简化为 。例如储气罐内各点的压强都相等。 三、压
10、强的表示方法及单位 1.压强的表示方法 .绝对压强: 是以绝对真空状态下的压强 (绝对零压强)为基准计量 的压强,用 表示, 0 。 .相对压强: 又称“表压强”,是以当地工程大气压 为基准计量的压强。用p表示,p= , p 可正可负,也可为零(图26)。,图28压强的测量,录像,.真空度:是指Pabc小于一个大气压的受压状态, 相对压强的负值时,如(图210)。 真空值 (220) 真空高度 (218),图210真空高度,(219) (二)压强的单位及其换算 1.国际单位制:国际单位制中压强的单位主要有pa(或 atm)、Pa(或N/m2)、Kpa(或kN/m2)、Mpa等。 2.工程单位制
11、:工程单位制中压强的单位主要有kgf/m2、 m(H2O)、mmHg和at等。 3.单位换算:1pa =0.1013 MPa =101.3 Kpa =1.103105 Pa =1.033 kgf/m2=10.33 m(H2O)=760 mm(Hg) 1at=1 kgf/m2=10 m(H2O)=736 mmHg=0.098 MPa =98 Kpa =98000 Pa 说明:计算时无特殊说明时液体均采用相对压强计算,气体一般选用绝对压强。,例21 求淡水自由表面下2m深处的绝对压强和相对压强 (认为自由表面的绝对压强为1at) 解:绝对压强 相对压强:,例22 密闭容器(图28), 测壁上方装有
12、U形管水银测压 计,该值hp20cm。试求安装在 水面下3.5m处的压力表读值。 解: U形管测压计的左支管 开口通大气,液面相对压强加 pN=0,容器内水面压强 压力表读值,图28测压计算,第四节、流体的相对平衡,前面导出了惯性坐标系中,液体的平衡微分方程及其综 合式(29)、式(211)。在工程实践中,还会遇到液体相对 于地球运动,而液体和容器之间,以及液体各部分质点之间 没有相对运动的情况,这种情况称为相对平衡。根据达兰贝 尔(DAlembert, Jean le Rond法国数学家,1717.11.16 1783.10)原理,在质量力中计入惯性力,使流体运动的问 题,简化为静力平衡问题
13、,可直接用式(29)计算。例如水 车沿直线等加速行驶,水箱内的水相对地球来说,随水车一 起运动,水和水箱,以及各部分水质点之间没有相对运动, 相对平衡的液体质点之间无相对运动,也无切应力,只有压 强。 相对平衡指各流体质点彼此之间及流体与器皿之间无相 对运动的相对静止或相对平衡状。因为质点间无相对运动, 所以流体内部或流体与边壁之间都不存在切应力。相对平衡 流体中,质量力除重力外,还受到惯性力的作用。,一、等角速度旋转容器内液体的相对平衡 盛有液体的圆柱形容器,静止时液体深度为H,该容器 绕垂直轴以角速度旋转。由于液体的粘滞作用,经过一段 时间后容器内液体质点以同样角速度旋转,液体均容器, 以
14、及液体质点之间无相对运动,液面形成抛物面。 压强分布规律 , (220) 等压面:p=p0+(2r2/2g-z) (221),录像,例23:求如图29所示等角速度旋转器皿中液体的相 对平衡的压强分布规律。 解: 则 (222) (223) 在原点(x=0,y=0,z=0): 因为,图29等角速旋转,等角速度旋转的直立容器中,液体相对平衡时压强分布 规律的一般表达式: (224) 等压面簇(包括自由表面,即 p=常数的曲面)方程 (225) 等压面簇是一簇具有中心轴的旋转抛物面。 具有自由表面的旋转器皿中液体的自由表面方程: 在自由液面上: 用相对压强表示自由表面方程: (226) 任一点压强:
15、,二、等角速度旋转球体内液体的相对平衡 压强分布规律 (227) 设球心处: 则 球壁上:; (228) 由得, 故最大压强作用点在,的圆周线上。,图210等角旋转球体,三、匀速直线运动容器内液体的相对平衡 压强分布规律 ; 质量力除重力外,计入惯性力,惯性力的方向与加速度的 方向相反, 即: (229) 令,得自由面方程: (230) 使水不溢出:,,录像,例24 如图211所示, 一洒水车等加速度a=0.98m/s2 向前平驶,求水车内自由表面 与水平面间的夹角;若B点在 运动前位于水面下深为h=1.0m, 距z轴为xB= -.5m,求洒水车 加速运动后该点的静压强。 解:考虑惯性力与重力
16、在内的单位质量力为(取原液面 中点为坐标原点) x= -a ; y=0 ;z= -g ,即:dp= (-adx -gdz) 积分得: p= -(ax+gz)+c,在自由液面上: x=z=0 ; p=p0 得: c= p0 =0 ,代入上式得:,图211,录像1,录像2,点的压强为 自由液面方程为(液面上p0=0): ax+gz 说明:在相对平衡的旋转液体中,各点的压强随水深的 变化仍是线性关系。在旋转液体中各点的测压管水头不等于 常数。,第五节、液体作用在平面上的总压力,液体作用在平面上的总压力,计算方法有解析法和图算法。 1.解析法 图218为任意形状的平面,倾斜放置于水中,与水面成角,面积为A,其形心C的坐标为xc ,yc ,形心C在水面下的深度为hc,图212平面上的总压力,.作用力的大小 微小面积dA的作用力: 静矩 : (229) 结论:潜没于液体中的任意形状平面的静水总压力F,大小 等于受压面面积A与其形心点的静压强pc之积。 .总压力作用点(压力中心),面积惯性矩: 式中:Ix面积A绕ox轴的惯性矩。 由惯性矩的平行移轴 (236) Ic面积A绕其与ox轴平行的形心轴的惯性矩。 结论:.当平面面积与形心深度不变时,平面上的总压力大小与平面倾
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