第7讲 置换群.ppt

1、1,循环群,定义10.7:设G是群，若在G中存在一个元素a，使得G中的任意元素都是a的幂，则称该群为循环群，元素a为循环群G的生成元。记G =. 任何一个循环群必为阿贝尔群,2,置换,定义：设A是一个非空有限集合，从集合A到A的一个双射称为A的一个置换 A 上的n 元置换：|A| = n 时A 上的一一变换 置换的表示法：令A= 1, 2, , n ,3,置换的表示法2,(132)(5648),4,n元置换的轮换表示,性质： 任何n元置换都可以表成不交的轮换之积，并且表法是唯一的. =12t =12l,1,2,t =1,2,l ,5,置换的表示法3,(132)(5648) =(13)(12)(

2、56)(54)(58),6,n元置换的对换表示,任意轮换都可以表成对换之积 对换可以有交 表法不唯一，但是对换个数的奇偶性不变,7,奇置换、偶置换,奇置换：表成奇数个对换之积 偶置换：表成偶数个对换之积 奇置换与偶置换之间存在一一对应，因此各有n!/2个,8,置换的乘法与求逆,置换的乘法：函数的复合 例如：8元置换=(132)(5648)，=(18246573), 则 =(15728)(3)(4)(6)=(15728) 置换求逆：求反函数 =(132)(5648)，-1=(8465)(231),9,对称群、置换群、交错群,令Sn为1,2,n上所有n元置换的集合. Sn关于置换乘法构成群，称为n

3、元对称群. Sn的子群称为n元置换群. 所有偶置换的集合做成Sn的子群称为n元交错群An.,10,3元对称群,例 3元对称群S3=(1),(12),(13),(23),(123),(132) 3元交错群A3=(1),(123),(132),11,4元对称群,S4=(1),(12),(13),(14),(23),(24),(34), (12)(34),(13)(24),(14)(23), (123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243), (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432),12,置换群中元素的阶,元素

4、的阶 k 阶轮换(i1 i2ik) 的阶为k =12l 是不交轮换的分解式，则 |=|1|,|2|,|l|,13,4元对称群,2阶元：(12),(13),(14),(23),(24),(34), (12)(34),(13)(24),(14)(23), 3阶元：(123),(132),(124),(142),(134), (143),(234),(243), 4阶元：(1234),(1243),(1324),(1342), (1423),(1432),14,置换群子群,(1), Sn， n 元交错群An 2元子群,15,置换群S3子群,S3=(1),(12),(13),(23),(123),(1

5、32) 子群6 个 , S3, , , A3=,16,置换群S4,S4=(1),(12),(13),(14),(23),(24),(34), (12)(34),(13)(24),(14)(23), (123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243), (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432),S4子群 ？ 个,置换群S4子群,平凡子群：, S4, 二阶子群：, , , , ,， , , ， 三阶子群：， ， ， A3=,17,置换群S4子群,四阶子群：, , , (1),(12)(34), (13)(24),

6、 (14)(23), (1),(12),(34), (12)(34),(1),(13),(24), (13)(24) (1),(14),(23), (14)(23) 六阶子群： S3= ， ， 十二阶子群：A4 A3=,18,19,置换群S4子群D4,D4 2X2的方格图形在空间中旋转、翻转 D4=(1),(13),(24), (12)(34),(13)(24),(14)(23), (1234),(1432),20,置换群S4子群D4, D”4,2X2的方格图形在空间中旋转、翻转 D4=(1),(12),(34), (12)(34),(13)(24),(14)(23), (1324),(142

7、3) D4=(1),(14),(23), (12)(34),(13)(24),(14)(23), (1243),(1342),21,着色问题应用,Polya定理：设G是一个n个对象上的置换群，用m种颜色对n个对象进行染色，当一种方案在群G中的置换作用下变为另外一种方案，就认为这两个方案是一样的。那么在这种规定下不同的染色方案数为：,其中c()是置换的循环节(轮换个数)。,着色方案举例1,2种颜色涂22方格，允许任意旋转 1=(1), 2=(1234), 3=(13)(24), 4=(1432) c(1)=4, c(2)=1, c(3)=2, c(4)=1 M= (24+21+22+21) /4=6,22,旋转或翻转,着色方案举例2,2种颜色涂33方格，允许任意旋转或翻转 (1) (1357)(2468)(9),(1753)(2864)(9) (15)(37)(26)(48)(9) (13)(57)(48)(2)(6)(9), (17)(35)(26)(4)(8)(9), (37)(46)(28)(1)(5)(9), (15)(24)(68)(3)(7)(9) M=(29+2*23+25+4*26) /8=102,23,24,Calay定理,Calay定理：每个有限群都与一个置换群同构,25,题例分析,2 若a * b = b，则： b * b = (a *