八年级数学下册 1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）教案1 （新版）湘教版

1、1.2直角三角形的性质和判定（）一、教学目标 1 . 知识与技能：使学生掌握勾股定理，培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。2过程与方法：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。3情感、态度与价值观：介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。二、重点、难点1重点：勾股定理的内容及证明。2难点：勾股定理的证明。3难点的突破方法：几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要。在古埃及，尼罗河每年要泛滥一次；洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限标志。水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田

2、地的面积。几何学从一开始就与面积结下了不解之缘，面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工具。本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。三、教学过程 （一）、新课引入 已知树高6米，在树梢上有一猫头鹰，猫头鹰从树梢斜飞落地抓老鼠，落点与树根相距8米，那么猫头鹰至少飞过多少米？（二）、探究定理1、画一画： 让学生动手画一个直角边长为3cm和4cm的直角ABC,用刻度尺量出AB的长。以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，

3、股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。2、做一做（1）、如图1、以这个直角三角形的三边为边作三个正方形，探究这三个正方形的面积之间有什么关系。正方形PQQPRR 面积91625思考：问题1：这三个正方形的面积分别为多少？你是怎么求的？问题2：这三个正方形的面积之间满足一个什么等式？ 图1问题3：正方形的面积等于边长的平方，那么它们的面积用边长代入得到一个什么等式？问题4：我们前面说过：在直角三角形中， 我们把较短的直角边叫勾，较长的直角边叫股， 斜边叫弦，那么勾股弦之间满足一个什么等式？ （2）、再画一个两直角

4、边为5和12的直角ABC，用刻度尺量AB的长。这个三角形的三边也满足勾2+股2=弦2吗？3、议一议对于任意的直角三角形也有这个性质吗？4、猜一猜 直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。即在ABC中，C=90，A、B、C的对边为a、b、c，有 a2b2=c2 【过渡语】猜想的结论是否正确须经过严格论证。证明该结论很难，许多数学家经过艰辛的努力，已想出很多种巧妙的证法，下面让大家体验一下其中的一种证法：我国三国时期的数学家赵爽创造的一种证法。 5、探一探（小组活动）、请同学们拿出准备好的4个全等的直角三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，三边分别标好a,b,c，拼出一个边长为c 的正方形，利用面

5、积相等进行证明（赵爽弦图，如图2）。bbbbccccaaaa图2 【小组合作探究】，思考：问题1：你拼的四边形是正方形吗？为什么？问题2：图中分别有几个正方形？几个直角三角形？问题3：大正方形由哪几个图形构成？问题4：它们的面积之间满足什么样的关系？问题5：分别怎么来表示它们的面积？、证明：如图2左（赵爽弦图）所示，其等量关系为：4S+S小正=S大正 即 4ab（ba）2=c2，cbCaBA化简可证。右图证明请同学们课后自己思考，教材第9697页有另一种证法，请同学们现在用2分钟看完。6、归纳总结勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即在ABC中，C=90，A、B、C的对边为a、

6、b、c，有a2b2=c2。图3我国称这个结论为“勾股定理”，西方称它为“毕达哥拉斯定理”，为什么呢？ （1）介绍周髀算经中西周的商高（公元一千多年前）发现了勾三股四弦五 这个规律 （2）介绍西方毕达哥拉斯于公元前582493时期发现了勾股定理；c2=a2 + b2（3）对比以上事实对学生进行爱国主义教育，激励他们奋发向上（4）反思：公式变形：a2=c2b2b2 =c2-a2说明：直角三角形的边长为正数，所以取算术平方根。问题1：勾股定理对所有的三角形都适用吗？为什么？问题2：勾股定理的条件是什么？结论是什么？结论：勾股定理揭示了在直角三角形中已知任意二边可以求第三边。（三）、勾股定理的应用1、

7、例题分析：例1、如图4，在ABC中，C900，AB=17,AC=8，求BC的长。 图4分析：在这个直角三角形中，已知斜边和条直角边，求另一条直角边。根据勾股定 理可得 BC=15 方法小结：利用勾股定理建立方程。 2、练习：在一个直角三角形中有二边分别是3和4，那么另一边一定是5吗？（小组合作探究）（四）解决问题：解：如图5，在直角ABC中 AC = 6 , BC =8A 已知树高6米，在树梢上有一猫头鹰，猫头鹰从树梢斜飞落地抓老鼠，落点与树根相距8米，那么猫头鹰至少飞过多少米？6 B8所以 AB = 10答：猫头鹰至少要飞10米.图5C所以 AB2 = AC2 + BC2 = 62 + 82

8、 = 100（五）小结： 1、本节课我们经历了怎样的过程？ 2、本节课我们学到了什么？ 3、学了本节课后我们有什么感想？（六）拓展练习： 如图6，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形G的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为_cm2。 （七）作业：四、教学反思新课程改革要求我们：将数学教学置身于学生自主探究与合作交流的数学活动中；将知识的获取与能力的培养置身于学生形式各异的探索经历中；关注学生探索过程中的情感体验，并发展实践能力及创新意识。为学生的终身学习及可持续发展奠定坚实的基础。为此我在教学设计中注重了以下几点：一、让学生主动想学上这节课前一个星期

9、教师布置给学生任务：查有关勾股定理的资料（可上网查，也可查阅报刊、书籍）.提前两三天由几位学生汇总(教师可适当指导)。这样可使学生在上这节课前就对勾股定理历史背景有全面的理解，从而使学生认识到勾股定理的重要性，学习勾股定理是非常必要的，激发学生的学习兴趣，对学生也是一次爱国主义教育，培养民族自豪感，激励他们奋发向上同时培养学生的自学能力及归类总结能力。二、在课堂教学中，始终注重学生的自主探究首先，创设情境，由实例引入，激发学生的学习兴趣，然后通过动手操作、大胆猜想、勇于验证等一系列自主探究、合作交流活动得出定理，并运用定理进一步巩固提高。体现了学生是数学学习的主人，人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。对于拼图验证，学生还没有接触过，所以在教学中教师给予学生适当指导与鼓励。充分体现了教师是学生数学学习的组织者、引导者、合作者。三、教会学生思维，培养学生多种能力课前查资料，培养学生的自学能力及归类总结能力；课上的探究培养学生的动手动脑的能力、观察能力、猜想归纳总结的能力、合作交流的能力四、注重了数学应用意识的培养数学来源于实践，而又应用于实践。因此从实例引入，最后通过定理解决引例中的问题，并在定理的应用中，让学生举生活中的例子，充分体现了数学的应用价值。整节课都是在生生互动、师生互动的和谐气氛中进行的，在教师的鼓励、引导下学生进行