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文档简介

1、1,复习,若能把某个量表示成定积分,我们就可以应用定积分计算这个量.,1)根据具体情况，,选取积分变量，,如：,x.,确定x的变化区间a,b.,2)把区间a,b分成n个小区间，,取一代表区间,求出该区间上所求量的部分量的近似表达式,量U的元素.,3)写出定积分的表达式：,也叫微分元素.,1.元素法计算量U的步骤:,2,2.平面图形的面积,X-型,Y-型,注意：恰当的选择积分变量、坐标系有助于简化积分运算.,3,二、体积,第二节,一、 平面图形的面积,三、 平面曲线的弧长,定积分在几何学上的应用,第六章,4,一、已知平行截面面积函数的立体体积,设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),则在小区

2、间,的体积元素为：,立体体积为：,上连续,A(x),x,a,b,5,(1)曲边梯形,旋转一周围成的旋转体的体积为：,(2)曲边梯形,绕 y 轴旋转一周围成的旋转体体积为：,二、旋转体的体积,6,解：,直线 方程为,P278例6,7,解: 如图,解方程组,得曲线的交点:,若绕y轴旋转呢？,8,例3. 计算由椭圆,所围图形绕 x 轴旋转而成的,椭球体的体积.,解: 方法1 利用直角坐标方程,则,(利用对称性),P279例7,9,方法2 利用椭圆参数方程,则,特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积,说明: 利用参数方程计算体积相当于定积分的换元,10,例4. 计算抛物线,解： 如图，,求

3、两曲线的交点,11,解： 如图,12,a,b,y,x,o,x,dx,生成的旋转的体积.,求旋转体体积,x+dx,内表面积：, 柱壳法,13,a,b,y,x,o,x,dx,生成的旋转的体积.,求旋转体体积 柱壳法,x+dx,底面积：,14,围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周,所以：由连续曲线,类似地，,如果旋转体是由连续曲线,而成的立体的体积.,而成的立体的体积.,15,例6. 计算摆线,平面图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积.,解：绕 x 轴旋转而成的体积为,P280例8,用柱壳法求 较好,16,X-型,Y-型,阶段小结: 由元素法可得：,平行截面面积为已知的立体的体积,注意：,1

4、.以上公式都要求,2.复杂图形应学会分割.,3.不能用公式时应会元素法.,17,而成的旋转体的体积.,分析： 无公式可用，可用元素法.如图,例7.,解法1:选择 y 作积分变量,解法2:选择 x 作积分变量,18,例8.一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,并与底面,交成 角,解：如图所示取坐标系,则圆的方程为：,垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为,利用对称性,计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .,19,R,o,x,y,20,y,R,x,R,o,21,o,y,R,x,R,R,y tan,(x, y),.,x,22,请熟记以下公式：,X-型,Y-型,小结,平行截面面积为已知的立体的体积,23,思

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