高中数学第三章函数的应用3.1.2用二分法求方程的近似解课件新人教A版.pptx

1、目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,【情境导学】 导入在一档娱乐节目中,主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格,若猜中了,就把物品奖给选手.某次竞猜的物品为价格在6001 000元之间的一款手机,选手开始报价: 选手:800. 主持人:低了. 选手:900. 主持人:高了. 选手:850. 主持人:高了. 选手:825. 主持人:祝贺你,答对了.,想一想 导入中的实例给出价格的一个范围,是如何逐步逼近其真实价格的? (它是利用了二分法的思想,通过对中点值的判断,每次把区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近真实价格,从而在较短的时间内猜中真实价格),知识探究,1.二分法的定义 对于在

2、区间a,b上 且 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ,使区间的两个端点逐步逼近 ,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 探究:若函数y=f(x)在定义域内有零点,该零点是否一定能用二分法求解? 答案:二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反),因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解,如f(x)=(x-1)2的零点就不能用二分法求解.,连续不断,f(a)f(b)0,一分为二,零点,2.二分法的步骤 给定精确度,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下: (1)确定区间a,b,验证 ,给定精确度. (2)求区间(a,b)的中点c. (3)计算f(c

3、): 若f(c)=0,则c就是函数的零点; 若f(a)f(c)0,则令b=c(此时零点x0 ); 若f(c)f(b)0,则令a=c(此时零点x0 ). (4)判断是否达到精确度:即若 ,则得到零点近似值a(或b);否则重复(2)(4).,f(a)f(b)0,(a,c),(c,b),|a-b|,【拓展延伸】 用二分法求方程的近似解要注意的问题 利用二分法还可以求两条曲线的交点坐标.求曲线y=f(x)和y=g(x)交点的横坐标,实际上是求函数y=f(x)-g(x)的零点,即求方程f(x)-g(x)=0的实根. 用二分法求方程的近似解要注意的问题:要看清题目要求的精确度,它决定着二分的次数.初始区间

4、的选定一般在两个整数间,不同的初始区间结果是相同的,但二分的次数却相差较大.在二分法的第四步,由|a-b|便可判断零点近似值为a或b,即只需进行有限次运算即可.用二分法求出的零点一般是零点的近似值,但并不是所有函数都可以用二分法求零点近似值,必须满足在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)0这样条件的函数才能用二分法求得零点的近似值.,自我检测,1.(二分法的步骤)用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是( ) (A)-2,-1 (B)-1,0 (C)0,1 (D)1,2 2.(二分法的步骤)用二分法求函数f(x)=x3-2x-1的零点时,若零点所在的初始区间为(1,2),则下

5、一个有解区间为( ) (A)(1,2) (B)(1.75,2) (C)(1.5,2) (D)(1,1.5),A,C,B,4.(二分法的概念)观察下列函数的图象,判断能用二分法求其零点的是 .,答案:,3.(精确度)用“二分法”可求近似解,对于精确度说法正确的是( ) (A)越大,零点的精确度越高 (B)越大,零点的精确度越低 (C)重复计算次数就是 (D)重复计算次数与无关,题型一,二分法的概念,课堂探究素养提升,【例1】 (2018恩施州高一月考)下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点近似值的是(),解析:能用二分法求函数零点的函数,在零点的左右两侧的函数值符号相反,图象要穿

6、过x轴.B图象不穿过x轴.故选B.,方法技巧 用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用,即条件f(a)f(b)0是必不可少的,对函数的不变号零点不适用.,即时训练1-1:下面关于二分法的叙述,正确的是.(填序号) 用二分法可求所有函数零点的近似值; 用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任一位; 二分法无规律可循; 只有在求函数零点时才用二分法.,解析:只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号,才可以用二分法求函数的零点的近似值,故错;二分法有规律可循,可以通过计算机来进行,故错;求方程的近似解也可以用二分法,故错.,答案:,题型二,二分法的步骤,【例2

7、】 用二分法求方程f(x)=0在0,4上的近似解时,至少经过次计算精确度可以达到0.001.,答案:12,即时训练2-1:用二分法研究函数f(x)=x5+8x3-1的零点时,第一次经过计算得f(0)0,则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为() (A)(0,0.5),f(0.125)(B)(0.5,1),f(0.875) (C)(0.5,1),f(0.75)(D)(0,0.5),f(0.25),解析:因为f(x)=x5+8x3-1,f(0)0, 所以f(0)f(0.5)0, 所以其中一个零点所在的区间为(0,0.5),第二次应计算的函数值应为f(0.25),故选D.,【备用例1】

8、 若用二分法求函数f(x)在(a,b)内的唯一零点时,精确度为0.001,则结束计算的条件是.,题型三,用二分法求方程的近似解,【例3】 借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解.(精确度0.1),解:原方程即2x+3x-7=0,令f(x)=2x+3x-7, 用计算器或计算机作出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表如下:,观察表可知f(1)f(2)0,说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0. 取区间(1,2)的中点x1=1.5,用计算器算得f(1.5)0.33.因为f(1)f(1.5)0, 所以x0(1,1.5).再取区间(1,1.5)的中点x2=1.25,用计算器算得f(1

9、.25)-0.87. 因为f(1.25)f(1.5)0,所以x0(1.25,1.5). 同理可得,x0(1.375,1.5),x0(1.375,1.437 5). 由于|1.375-1.437 5|=0.062 50.1,所以原方程的近似解可取为1.437 5.,题后反思 二分法求解过程中,每次取中点求值可以利用列表的方式,使计算步骤明确,当区间长度小于精确度时,即为计算的最后一步.,即时训练3-1:利用计算器,求方程lg x=2-x的近似解(精确度0.1).,解:作出y=lg x,y=2-x的图象可以发现,方程lg x=2-x有唯一解,设为x0,并且在区间(1,2)内, 设f(x)=lg x

10、+x-2,用计算器计算得f(1)0 x0(1,2); f(1.5)0 x0(1.5,2); f(1.75)0 x0(1.75,2); f(1.75)0 x0(1.75,1.875); f(1.75)0 x0(1.75,1.812 5). 因为|1.812 5-1.75|=0.062 50.1, 所以方程的近似解可取为1.812 5.,解:方程2x+x=4可以化为2x=4-x.分别画函数y=2x与y=4-x的图象,如图所示,由图象可以知道,方程2x+x=4的解在区间(1,2)内,那么对于区间(1,2),利用二分法就可以求得它的近似解. 设f(x)=2x+x-4,利用计算器计算得, f(1)0 x1(1,2),f(1)0 x1(1,1.5),f(1.25)0 x1(1.25,1.5),f(1.375)0 x1(1.375,1.5), f(1.437 5)0,f(1.375)0 x1(1.375,1.437 5). 由于|1.375-1.437 5|=0.062 50.1, 所以原方程的近似解可取为1.437 5.,【备用例2】 利用计算器,求方程2x+x=4的近似解(精确度0.1).,题型四,易错辨析忽视系数致误,【例4】 已知函数f(x)=2(m-1)x2-4mx+2m-1,若f(x)的图象与x轴只有一个交点,求m的值.