辽工大大地测量学基础第五章地球椭球与测量计算

1、第五章 地球椭球与测量计算,地球椭球及其定位 椭球面上法截线曲率半径 椭球面上的弧长计算 将地面观测的方向值归算到椭球面 将地面观测的长度归算到椭球面 椭球面大地问题解算,1,1. 椭球几何参数及关系,5-1地球椭球及其定位,椭圆的长半轴： a 椭圆的短半轴： b 椭圆的扁率：,五个基本几何参数,椭圆的第一偏心率：,椭圆的第二偏心率：,a、b称为长度元素,扁率反映了椭球体的扁平程度,e和e反映椭球体的扁平程度，偏心率越大，椭球愈扁,决定旋转椭球的形状和大小，只需知道五个参数中的两个就够了，但其中至少要有一个长度元素（如a或b）。 为简化书写，常引入以下符号和两个辅助函数：,注 意,式中，W 第

2、一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数。,我国所采用的的1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数；以后采用的1980国家大地坐标系应用的是1975国际椭球参数；而GPS应用的是WGS-84系椭球参数。,2.地球椭球参数间的相互关系,同理可得：,2.垂线偏差及其基本公式,需理解概念： 垂线偏差 重力垂线偏差（正常椭球） 绝对垂线偏差（平均地球椭球） 相对垂线偏差（参考椭球） 大地子午面 天文子午面 子午圈 卯酉圈 天顶距,Z2,由大地经纬度与天文经纬度计算垂线偏差：,由垂线偏差与天文经纬度计算大地经纬度：,Z2,天文方位角与大地方位角之间的关系式：,2.椭球定位,1、椭球定位、定向的概念,

3、大地坐标系是建立在一定的大地基准上的用于表达地球表面空间位置及其相对关系的数学参照系，这里所说的大地基准是指能够最佳拟合地球形状的地球椭球的参数及椭球定位和定向。,椭球定位是指确定椭球中心的位置,可分为两类:局部定位和地心定位。局部定位要求在一定范围内椭球面与大地水准面有最佳的符合,而对椭球的中心位置无特殊要求；地心定位要求在全球范围内椭球面与大地水准面有最佳的符合,同时要求椭球中心与地球质心一致或最为接近。,椭球定向是指确定椭球旋转轴的方向,不论是局部定位还是地心定位,都应满足两个平行条件:,椭球短轴平行于地球自转轴; 大地起始子午面平行于天文起始子午面,具有确定参数(长半径a和扁率),经过

4、局部定位和定向,同某一地区大地水准面最佳拟合的地球椭球,叫做参考椭球。 除了满足地心定位和双平行条件外,在确定椭球参数时能使它在全球范围内与大地体最密合的地球椭球,叫做总地球椭球。,要正确区分的两个概念,2、坐标系的类型,参心坐标系:以参考椭球为基准的坐标系,地心坐标系:以总地球椭球为基准的坐标系。,建立（地球）参心坐标系，需进行下面几个工作：,选择或求定椭球的几何参数（长短半径）；,确定椭球中心位置（定位）；,确定椭球短轴的指向（定向）；,建立大地原点。,椭球中心O相对于地心的平移参数,三个绕坐标轴的旋转参数（表示参考椭球定向）,参考椭球的定位与定向,参考椭球定位定向方法,选定某一适宜的点K

5、作为大地原点，在该点上实施精密的天文测量和高程测量，由此得到该点的天文经度 ，天文纬度 ，至某一相邻点的天文方位角 和正高,得到K点相应的大地经度 ，大地纬度 ，至某一相邻点的大地方位角 和大地高,大地原点垂线偏差的 子午圈分量和卯酉 圈分量及该点的大地 水准面差距,天文坐标,大地坐标,0,一点定位,多点定位,一点定位的结果在较大范围内往往难以使椭球面与大地水准面有较好的密合。所以在国家或地区的天文大地测量工作进行到一定的时候或基本完成后，利用许多拉普拉斯点（即测定了天文经度、天文纬度和天文方位角的大地点）的测量成果和已有的椭球参数，按照广义弧度测量方程按 =最小（或 =最小）这一条件，通过计

6、算进行新的定位和定向，从而建立新的参心大地坐标系。按这种方法进行参考椭球的定位和定向，由于包含了许多拉普拉斯点，因此通常称为多点定位法。,多点定位的结果使椭球面在大地原点不再同大地水准面相切，但在所使用的天文大地网资料的范围内，椭球面与大地水准面有最佳的密合。,几个基本概念： 法截面：过椭球面上任意一点可作垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面就叫法截面。 法截线（法截弧）：法截面与椭球面的交线。 卯酉圈：过某点法线的无数个法截面中，与子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合圈就称为卯酉圈。,5.2椭球面上法截线曲率半径,1、子午圈曲率半径,2、卯酉圈曲率半径,过P点作以O为中心的平行圈PH

7、K的切线PT，该切线位于垂直于子午面的平行圈平面内。因卯酉圈也垂直于子午面，故PT也是卯酉圈在P点处的切线，即PT垂直于Pn。所以PT是平行圈PHK及卯酉圈在P点处的公切线。 麦尼尔定理：假设通过曲面上一点引两条截弧，一条为法截弧、一条为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线，这时斜截弧在该点的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦。又因为平行圈平面与卯酉圈平面之间的夹角即为大地纬度B，所以有：,平行圈半径r就等于P点的横坐标x（子午面直角坐标系），即：,3、任意法截弧的曲率半径,当A=0或180时，RA的值最小，此时R0=M（子午曲率半径）当A=90或270时，RA的值最大，

8、此时R90=N（卯酉圈曲率半径）；当A由090时，RA之值由MN；当A由90180时，RA之值由NM。RA值的变化是以90为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。,根据欧拉公式：,4、平均曲率半径,M、N、R的关系：NR M,只有在极点上，它们才相等，且均等于极曲率半径c，即：,由于RA的数值随方位A的变化而变化，给测量带来不便，在测量工作中，往往根据一定的精度要求，在一定范围内，把椭球面当作球面来处理，为此，就要推求该球面的曲率半径-平均曲率半径就是过椭球面上一点的一切法截弧(02），当其数目趋于无穷时，它们的曲率半径的算术平均值的极限，就称为平均曲率半径，用R表示。,5.3 椭球面上的弧长计算,1

9、.子午线弧长计算公式,将积分因子按二项式定理展开为级数形式,将正弦的指数函数化为余弦的倍数函数,2.平行圈弧长公式,旋转椭球体的平行圈是一个圆，其半径就是圆上任意一点的子午面直角坐标x：,如果平行圈上有两点，其经差 ， 可写出平行圈弧长公式：,3.子午线弧长和平行圈弧长变化的比较,单位纬差的子午线弧长随B的增大而缓慢地增大；而单位经差的平行圈弧长则随B的增大而急剧缩短。同时还知，子午弧长1约为110KM，1约为1.8KM，1约为30M；而平行圈弧长仅在赤道附近才与子午线弧长大体相当，随着B的增大它们的差值愈来愈大。,5.4.1 大地线,1.相对法截线的概念,（1）纬度不同的两点，法线必交于旋转

10、轴的不同点； （2）椭球面上一点的纬度愈高，法线与旋转轴的交点愈低； （3）当两点的纬度不同，又不在同一子午圈上时，这两点的法线将在空间交错而不相交。因此当两点不在同一子午圈上，也不在同一平行圈上时，两点间就有二条法截线存在。,首先明确以下三点：,假定经纬仪的纵轴同A，B两点的法线重合（忽略垂线偏差），如果以两点为测站，则经纬仪的照准面就是法截面。用A点照准B点，则照准面 同椭球面的截线为 ，叫做A点的正法截线，或B点的反法截线；同理，由B照A点，则照准面 同椭球面的截线为BbA ，叫做B点的正法截线，或A点的反法截线。因A，B的法线互不相交，故这两条法截线不重合。我们把 和BbA叫做A、B两

11、点的相对法截线。,AB方向在不同象限时，正反法截线的关系图,当A、B两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反法截线则合二为一，这是一种特殊情况。而通常情况下，正反法截线是不重合的。因此在椭球面上A、B、C三点处所测得的角度（各点上正法截线之夹角）将不能构成闭合三角形。为克服这个矛盾，在两点间另选一条单一的大地线代替相对法截线，从而得到由大地线构成的单一的三角形。,2、大地线的定义和性质,椭球面上两点间的最短曲线叫做大地线。,大地线是椭球面上两点间唯一最短线，而且位于相对法截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线间的夹角为：,在一等三角测量中，可达千分之四秒，可达千分之一二秒,大地线与法截线长度之

12、差只有百万分之一毫米，所以在实际计算中，这种长度差异可以忽略不计。但是，根据大地线的性质，在椭球面上进行测量计算时，应以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等应归算到相应大地线的方向、距离。,3、大地线的微分方程和克莱洛(克莱劳)方程,1）大地线微分方程: 表达dL，dB，dA与dS的关系式。,dS,2）克莱洛方程：,代入,两边积分得：,上式表明：在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。,利用这个关系式可以检查纬度与方位角计算的正确性,5.4.2 将地面观测的方向值归算到椭球面 （重点）,1、将地面观测的水平方向归算至椭球面-三差改正,归

13、算中两个基本要求： （1）以椭球面的法线为基准； （2）将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。,将水平方向归算至椭球面，包括垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正，习惯上称此三项为三差改正。,垂线偏差改正的计算公式,1）垂线偏差改正,把以垂线为依据的地面观测的水平方向值归算到以法线为依据的方向值而应加的改正数称为垂线偏差改正。,2）标高差改正,标高差改正：由照准点高度引起的改正 前面已得出结论：不在同一子午面或不在同一平行圈上的两点的法线是不共面的。因此，当进行水平方向观测时，如果照准点高出椭球面某一高度，则照准面就不能通过照准点的法线同椭球面的交点，由此引起的方向偏差的改正称标高差改正，

14、以 表示。,标高差改正主要与照准点的 高程有关。,令：,3）截面差改正,将法截弧方向化为大地线方向应加的改正叫截面差改正,截面差改正主要与测站点至照准点间的距离S有关。,令：,4）三差改正的计算,各等三角测量在归算时对取位的要求： 一等需算至0.001； 二等为0.01； 三等和四等为0.1。,在一般情况下，一等三角测量应加三差改正；二等三角测量应加垂线偏差改正和标高改正，而不加截面差改正；三等和四等三角测量只有在 或H2000m时，才分别考虑加垂线偏差改正和标高差改正。,电磁波测距的归算,前提：1) 在椭球面上两点间大地线长度与相应法截线长度之差是极微小的，故可忽略不计，这样可将两点间的法截

15、线长度认为是该两点间的大地线长度；2) 两点间的法截线长度与半径等于其起始点曲率半径的圆弧长相差也很微小(如当S=640KM时，之差等于0.3米；S=200KM时，之差等于0.005m)。由于工程测量中边长一般为几公里，最长也不过十几公里，因而，这种差异又可忽略不计。因此所求的大地线长度可以认为是半径RA相应的圆弧长。,5.4.3 将地面观测的长度归算到椭球面（重点）,简化后：,5.4.4 椭球面上三角形的解算（重点）,1、用勒让德尔定理解算球面三角形,假设：半径为140KM范围内的椭球面可当作球面上的一部分看待。计算表明：当三角形边长小于240KM时，就可把它当作球面三角形解算，两者对应的边

16、长相等，对应角之差小于0.001。,勒让德尔定理：如果平面三角形和球面三角形对应边相等，则平面角等于对应球面角减去三分之一球面角超。,定理表明：如果球面三角形的各角减去三分之一球面角超，就可得到一个对应边相等的平面三角形，因此就可按平面三角形的解法解算此三角形，所得到的边长即为球面边长（同时也是椭球面边长），从而达到解算球面三角形的目的。,F为平面三角形的面积。,2、球面角超的计算：,f值可以以纬度为引数，在专门的数表中查取。,化算平面角需要用球面角超，而球面角超的计算又需要用平面角，因此可直接用球面角代替平面角计算球面角超，虽然带有误差，但研究表明：当边长不大于90km时，这种误差小于0.0005，可忽略。,5.5 大地主题解算的高斯平均引数公式（了解）,如图所示，已知P1点的大地坐标（ ），P1至P2点的大地线长S及其大地方位角A12，计算P2点的大地坐标（ ）和大地线S在P2点的反方位角A21，这类问题叫做大地主题正解。如果已知P1和P2点的大地坐标 （ ）和（ ），计算P1至P2点的大地线长S及其正、反大地方位角，这类问题叫做大地主题