高等代数考前辅导.ppt

1、高等代数考前辅导,主讲：韩世勤,继续,高等代数的基本内容,多项式理论 行列式 矩阵 线性方程组 二次型 特征值与特征向量 线性空间与线性变换,多项式理论是高等代数的重要内容之一。主要包括多项式的整除，多项式的因式分解，多项式的零点，多项式的公因式及其辗转相除法等。 例1、设多项式 能够被,返回,整除，试确定常数a ，b。 解：经过多项式的除法可以求得 所以有a= -1，b= -2。,例2、如果 ，则A，B 各为多少？ 解：利用多项式的除法可以求得A，B各为 1，-2,另外还可以利用重根的性质求常数A，B。由于 x=1是 的二重根，所以 可以求得A，B各为 1，-2,行列式是高等代数的重要内容之

2、一。主要包括行列式的定义、性质及其计算。,继续,例1、计算行列式的值,解：利用行列式的性质,继续利用行列式的性质，将第四列的1倍加到第三列上去；再按第三列展开，降为三阶行列式；将三阶行列式的第一行的-1倍分别加到第二行和第三行；最后按第三列展开。,继续,解：将第二行的-2倍加到第一行上；将第三列的2倍加到第四列上，有 也可以写为 这种方法称为行列式的分块计算方法。,例2、利用行列式的性质计算行列式 的值,返回,矩阵是高等代数的重要内容之一，它在当今科技计算中具有重要的作用。内容包括矩阵的运算、矩阵的初等变换及初等矩阵、逆矩阵及其计算、矩阵的秩等。,例1、设n阶矩阵A的行列式 ， 是A的伴随矩阵

3、， 求 的行列式。 解：由于 所以 利用实数与矩阵的数乘法则，有,继续,利用初等变换计算矩阵的逆是高等代数中的一个基本问题。这是每个同学都必须会做的计算。,例2、利用初等变换计算下列矩阵的逆 解：构造矩阵 仅利用行初等变换，将其化为 ， 则B就是A的逆。,继续,首先将第三行乘以-1；再将第三行的-1倍加到第二行上去；最后将第二行的-1倍加到第一行上去。 所以,继续,例3、求矩阵A 的秩 解：利用行（或列）初等变换，将矩阵中对角线以下（或以上）的元素化为零，这样就很容易看出矩阵的秩。 由此已经看出矩阵A的秩为4。,利用初等变换计算矩阵的秩也是高等代数中的一个基本问题。用同样的办法也可以计算向量组

4、的秩，在线性方程组求解过程中具有重要的应用。每个同学都必须会计算。,继续,返回,例4、已知 ，其中 ， ， 求矩阵 。,解：由 得 而 是可逆的，可以求得 所以,例1、求解下列线性方程组 解：仅利用行初等变换，计算增广矩阵的秩,线性方程组是高等代数课程的重要内容。主要包括线性方程组解的存在性，唯一性，齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的结构,继续,由此可以看出，对矩阵进行初等变换是一个常见的计算问题，一定要非常熟练。,由于A 的秩等于B 的秩，都为3，因此该方程组有解。对应齐次线性方程组的基础解系为 而容易求得该方程的一个解为 所以该方程组的通解为,继续,例2、设n阶方阵A的各行元素之和均为零

5、，且A的秩为n-1，求线性方程组AX=0的通解。 解：由于A的秩为n-1，所以线性方程组AX=0的基础解系中只包括一个非零解；又由于n阶方阵A的各行元素之和均为零，所以存在n维非零向量 X0=(1，1， ，1)T 使得 AX0=0 因此向量 X0 就是线性方程组AX=0的基础解系，于是其通解即为 X=CX0 其中C为任意常数。,继续,返回,例3、设n阶方阵A的各行元素之和均为1，齐次线性方程组AX=0的基础解系为X1 ,X2 ,Xn-r ，求非齐次线性方程组AX=b的通解，其中 b=(1，1， ，1)T 。 解：由于已知齐次线性方程组AX=0的基础解系为 X1 ,X2 ,Xn-r ， 因此齐次

6、线性方程组AX=0的通解为 XC=C1X1+C2X2+Cn-rXn-r 其中Ci为任意常数。 又由于n阶方阵A的各行元素之和均为1，所以 X0=b=(1，1， ，1)T 是非齐次线性方程组AX=b的一个特解，即 AX0=b 因此非齐次线性方程组AX=b的通解为 X = XC + b,二次型是高等代数课程的重要内容之一。主要包括二次型的矩阵表示，二次型的标准形及其唯一性，化简二次型为标准形，正定二次型等。,例1、已知二次型 通过正交变换可化为标准形 求参数 ，并判断该二次型是否为正定二次型。 解：二次型的矩阵 所以 ，而 因此有 解之得 。 由于二次型的三个特征值为1，2，5 均为正，因此由正定

7、的充要条件可断定该二次型是正定二次型。,继续,例2、利用合同变换化简二次型 为标准形，并求出所需的合同变换矩阵。,解：二次型的矩阵为 为同时得到合同变换矩阵，构造如下矩阵，并对其进行合同变换（对行、列作相同的初等变换），当其中的矩阵A化简为最简对角形时，单位矩阵E变化的结果即为所需的合同变换矩阵。,继续,返回,因此在变换 下，原二次型变换为规范型 其中，矩阵 称为合同变换矩阵，并有 说明本例中的矩阵与单位矩阵合同。,特征值与特征向量是高等代数课程的重要概念之一。虽然开始引入此概念是针对线性变换的，但由于在有限维向量空间中，当选定某组基底时，线性变换与矩阵是一一对应的，因此我们经常将特征值和特征

8、向量看作是矩阵的概念。 为了便于大家学习，将矩阵特征值和特征向量的一些重要结果归纳如下： 1、定义： 2、若矩阵A的特征值是 ，且A可逆，则A-1的特征值是 并且所对应的特征向量不变。 3、正定矩阵的特征值全部为正，反之也对。 4、正交矩阵的特征值必为1或-1。 5、相似变换不改变矩阵的特征值。,继续,例1、设矩阵 求它的特征值和特征向量。,解：矩阵A的特征多项式为 利用行列式的计算方法 求A的特征值为,继续,将二重根 代入齐次线性方程组 即 得方程组 求解该方程组的通解即为特征值 所对应的全部 特征向量。容易求得方程组(1)的基础解系为 因此，特征值 所对应的全部特征向量为,继续,将特征根

9、代入齐次线性方程组 即 得方程组 求解该方程组的通解即为特征值 所对应的全部 特征向量。容易求得方程组(2)的基础解系为 因此，特征值 所对应的全部特征向量为,继续,返回,例2、证明相似矩阵具有相同的特征值。 证明：设矩阵A与矩阵B相似，即存在可逆矩阵P，使得 P-1AP=B 所以 说明相似矩阵具有相同的特征多项式，因此它们的特征值也就完全相同。,例3、若矩阵A的特征值是，且A可逆，则A-1的特征值是 并且所对应的特征向量不变。 证明：设矩阵A的特征值是，对应的特征向量为 ， 则由定义可知，有 ，所以 有 由定义说明矩阵A-1的特征值是 。,线性空间和线性变换是高等代数中较为抽象的一部分内容，

10、主要包括向量组的线性无关性、向量空间及其基底、线性变换及其所对应的矩阵、同一个线性变换在不同的基底之下所对应不同矩阵之间的关系等内容。,例1、已知向量组 求该向量组的秩 。 解：将该向量组拼凑成一个矩阵，这个矩阵的秩就是该向量组的秩。,利用初等变换可求得其秩是2。,继续,例2、设集合 V= 试证V构成一个线性空间，并说明它的维数是多少。 证明：设 即 于是 由此可见，V关于向量的数乘与加法是封闭的，根据定义可以知道，V构成一个线性空间。并且其维数是n-1。,继续,例3、已知向量组 线性无关, 而向量组 线性相关, 问哪一个向量必定可由其他向量线性表示？ 解：因为 线性相关,所以在该向量组中加入 则向量组 仍是线性相关的，根据定义，必存在四个不