22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质48528.ppt

1、22.1.4 二次函数 的图象和性质,yax2bxc,a0,开口向上; a0,开口向下.,a0,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大.; a0,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .,知识回顾：,一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的 相同， 不同,形状,位置,y = ax2,y = ax2 + k,y = a(x h )2,y = a( x h )2 + k,上下平移,左右平移,上下平移,左右平移,y=ax2,y=a(x-h)2+k,左加右减,上正下负,当一枚火箭被竖直向上发射时,它的高度 h (m) 与时

2、间 t (s) 的关系可以用公式 h = - 5 t + 150 t +10 表示,经过多长时间,火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？,你知道吗？,今天我们继续学习： 二次函数的一般形式y=ax2+bx+c（a0）的图象,配方得：,y x26x21,新课,我们已经知道， 这样的函数图像和性质，能否利用这些知识来讨论二次函数 的图像和性质,根据顶点式确定开口方向,对称轴,顶点坐标.,列表:利用图像的对称性,选取适当值列表计算.,a= 0, 开口向上; 对称轴:直线x=6; 顶点坐标:(6,3).,直接画函数 的图象,直接画函数 的图象,描点、连线，画出函数 图像.,（6,3）,问题： 1.看

3、图像说说抛物线 的增减性。 2.怎样平移抛物线 可以得到抛物线 ？,你学会了吗？,研究二次函数y=ax2+bx+c的图象，关键是找到对称轴和顶点坐标。通常利用配方法把二次函数y=ax2+bx+c转化为y=a(x-h)+k的形式，然后确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点。,1 用配方法求二次函数y=ax+bx+c的对称轴和顶点坐标,函数y=ax2+bx+c的顶点式,配方法：,2 待定系数法：,设yax2bxc可化为 ya(xh)2k,而 ya(xh)2k ax22ahxah2k, 2ahb ah2kc,可得 h,k,老师提示: 配方后的表达式通常称为配方式或顶点式,归纳,抛物线yax2bxc （a

4、0）,a(x )2,因此，抛物线yax2bxc 的对称轴是,x,顶点坐标是（ ， ）,识记,图象的画法,步骤：1利用配方法或公式法把,化为,的形式。,2确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。,3在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图。,函数y=ax2+bx+c的顶点式,总结：求二次函数最值，有两个方法 (1)用配方法；(2)用公式法,怎样直接作出函数y=3x2-6x+5的图象?,例2 我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.,1.配方:,提取二次项系数,配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方,整理:前三项化为平方形式

5、,后两项合并同类项,化简:去掉中括号,相等，则形状相同。,(1)a决定抛物线形状及开口方向，若,a0开口向上；,例3抛物线yax2bxc中a，b，c的作用。,a0开口向下。,x,y,a的绝对值越大，开口越小,(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线,若a，b异号对称轴在y轴右侧。,，故,若b0对称轴为y轴，,若a，b同号对称轴在y轴左侧，,x,y,o,(3)c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置。,当x0时，yc，抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点(0，c)，,c0抛物线经过原点；,c0与y轴交于正半轴；,c0与y轴交于负半轴。,x,y,

6、（4）二次函数有最大或最小值由a决定。,当x= 时,y有最大(最小)值,y,.,.,x,y,.,x,x,能否说出 它们的增 减性呢？,x,y,O,（3）开口方向：当 a0时，抛物线开口向上；当 a0时，抛物线开口向下。,（1）顶点坐标,（2）对称轴是直线,课堂小结,如果a0，当,时，函数有最小值，,如果a0，当,时，函数有最大值，,（4）最值：,若a0，当,时，y随x的增大而增大；,当,时，y随x的增大而减小。,若a0，当,时，y随x的增大而减小；,当,时，y随x的增大而增大。,（5）增减性：,与y轴的交点坐标为（0，c）,(6)抛物线,与坐标轴的交点,抛物线,抛物线,与x轴的交点坐标为,，其

7、中,为方程,的两实数根,与x轴的交点情况可由对应的一元二次方程,(7)抛物线,的根的判别式判定：, 0有两个交点抛物线与x轴相交；, 0有一个交点抛物线与x轴相切；, 0没有交点抛物线与x轴相离。,再见,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2+bx+c(a0),y=ax2+bx+c(a0),由a,b和c的符号确定,由a,b和c的符号确定,向上,向下,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增

8、大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,2.不同点: (1)位置不同(2)顶点不同:分别是 和(0,0). (3)对称轴不同:分别是 和y轴. (4)最值不同:分别是 和0. 3.联系: y=a(x-h)+k(a0) 的图象可以看成y=ax的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 0时,向右平移;当 0时向上平移;当 0时,向下平移)得到的.,解析式变形,分情况讨论,变换过程,y=ax2+bx+c（a、b、c都是常数，a0）,解析式,顶点坐标,对称轴,都是,都是,-2,1二次函数y=ax2+bx+c(a0)的几个特例： 1、当x=1 时， 2、当x=-1时， 3、

9、当x=2时， 4、当x=-2时，,y=a+b+c,y=a-b+c,y=4a+2b+c,y=4a-2b+c,o,1,-1,2,练习：二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如上图所示，那么下列判断正确的有（填序号） . 、abc0, 、2a+b0, 、a+b+c0,、4a+2b+c0,、4a-2b+c0.,二次函数的几种表达式：,(顶点式),(一般式),(交点式),例7 已知二次函数,的最大值是0，求此函数的解析式,例8 已知如图是二次函数yax2bxc的图象，判断以下各式的值是正值还是负值 (1)a；(2)b；(3)c；(4)2ab； (5)abc；(6)abc,分析：已知的是几何关系(图形

10、的位置、形状)，需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用,解： (1)因为抛物线开口向下，所以a0；,判断a的符号,(2)因为对称轴在y轴右侧，所以,，而a0，故b0；,判断b的符号,(3)因为x0时，yc，即图象与y轴交点的坐标是(0，c)，而图中这一点在y轴正半轴，即c0；,判断c的符号,，且a0，所以b2a，故2ab0；,(5)因为顶点横坐标小于1，即,判断2ab的符号,(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为正值，即a12b1c0，故abc0；,判断abc的符号,(7)因为图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为负值，即a(1)2b(1)c0，故abc0,判断abc的符号,

11、9,y,o,x,1,x=1,-2,11.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的几个特例： 1）、当x=1 时， 2）、当x=-1时， 3）、当x=2时. 4）、当x=-2时，,y=,y=,y=,y=,6）、2a+b 0.,o,1,-1,2,5）、b-4ac 0.,a+b+c,a-b+c,4a+2b+c,4a-2b+c,12.函数y=ax2+bx+c(a0)的应用,例：某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图） （1）求y与x之间的函数关系式； （2）设公司获得的总利

12、润（总利润总销售额-总成本）为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断：当x取何值时，P的值最大？最大值是多少？,解：（1）设y与x之间的函数关为 经过（60，400）（70，300） 解得： y与x之间的函数关系式为 （2）P（10 x1000）（x50） 当x75时，P最大，最大利润为6250元,13、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。,解：二次函数的最大值是2 抛物线的顶点纵坐标为2 又抛物线的顶点在直线y=x+1上 当y=2时，x=1 顶点坐标为（ 1 ， 2） 设二次函数的

13、解析式为y=a(x-1)2+2 又图象经过点（3，-6） -6=a (3-1)2+2 a=-2 二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x,前进,14：,已知二次函数y=x2+x- （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求MAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y0？,前进,已知二次函数y=x2+x- （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求MAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y0？,