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文档简介

1、8.6 多元函数极值与最值,一、多元函数的极值与最值 二、条件极值,一、无条件极值,且两个一阶偏导数都存在,则必有,注1：,注2：,因此，函数的极值点从这两类点中去寻找。,解：,得驻点(0,0),解：,解：,得驻点(0,0),定理：(极值的充分条件),注2：给出判断极值点的步骤：,解：,(1),(2),(3),二、二元函数的最值,注1：,注2：,若区域D为有界闭域，,先求出f(x,y)在D内的全部驻点,的函数值,一阶偏导数不存在点的函数值,以及区域D,边界上驻点的函数值，,再比较大小，,其中最大者为最大值，,最小者为最小值。,若区域D为有界开区域，,一般原则：,若f(x,y)在驻点处取得极大或

2、极小值，,且驻点唯一，,则该驻点必为最大值或最小值。,例：某企业生产两种商品的产量分别为x、y单位,利润函数为：L=64x-2x2+4xy-4y2+32y-14，求最大利润。,解：由极值的必要条件,解得唯一驻点(40,24).,由,可知,唯一驻点(40,24)为极大值点,亦即最大值点。,最大值为：L(40,24)=1650,答：两产品产量分别为40单位和24单位时,利润最大,最大利润为1650单位。,解：由,得驻点(0,0),(2,0).,计算驻点处的函数值得,计算函数值得,三、条件极值,无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外,再无其他限制条件.,条件极值：对自变量有附加条件的极值。 引例：

3、小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带,设他购买x张磁盘, y盒录音磁带达到最佳效果,效果函数为U(x,y)=lnx+lny。设每张磁盘8元,每盒磁带10元,问他如何分配这200元以达到最佳效果。 问题的实质：求U(x,y)=lnx+lny在条件8x+10y=200下的极值点。,目标函数,约束条件,条件极值问题：求z=f(x,y)在限制条件(x,y)=0下的极值。,求解方法：,1、将条件(x,y)=0代入目标函数z=f(x,y)内,再对其求无条件极值。,（此时(x,y)=0 容易表示为y=y(x)）,2、拉格朗日乘数法：,具体步骤：,1)、构造拉格朗日函数：,2)、求解方程组：,3)、判别(x,y)是否为极值点.一般根据实际问题得结论.,-代入法,例：,某企业生产两种不同型号的机器，当生产量分别为,如果两种,机器共生产8台，问：各生产多少可使总成本最少？,解：,则,问题本身存在最小值.,所以当两种机器各生产5台和3台时总成本最少。,例：将正数12分成三个正数x、y、z之和,并使S=xyz 最大。,解：,则,作

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