第二章 第三节年金.ppt

1、回顾公式,1.单利终值： 2.单利现值： 3.复利终值： 4.复利现值： 5.实际利率与名义利率换算 i=,F P = 1+ni,F = P（1+ni）,F= P（ F/P，i，n),P=F (P/F,i，n),（1r/m）m -1,思考： 什么是年金？ 生活中哪些经济现象属于年金？,第三节 年金,？,年金的终值和现值,年金是系列收付款项的特殊形式，即在一定时期内每隔相同的时间（如一年）就发生相同数额的系列收付款项，如折旧、租金、利息、保险金等通常都采用年金的形式。 年金按其每次收付发生的时点不同，可分为普通年金、预付年金、递延年金和永续年金。,所谓普通年金，是指从第一期起, 在一定时期内每期

2、期末等额发生的系列收付款项, 又称后付年金。,A A A A,0 1 2 n-1 n,期末,. . .,1、普通年金的终值和现值,设每年的支付金额为A，利率为i，期数为n 0 1 2 n-2 n-1 n A A A A A,A(1+i)n-1,A(1+i)1,A(1+i)0,A(1+i)2,A(1+i)n-2,(1)普通年金的终值公式推导,6,年金终值的计算公式为： F=A+A（1+i）+A（1+i）2+ A（1+i）n-1 （上式） 等式两边同乘（1+i）； F（ 1+i ）=A（1+i）+A（1+i）2+ A（1+i） n （下式） （下式）- （上式） F（ 1+i )-F=A（1+i）

3、 n A i F= A（1+i）n A,(1)普通年金的终值公式推导,(1)普通年金的终值,普通年金终值是一定时期内每期期末等额收付款项的复利终值之和。计算公式为： FA （1i）n1 /i 式中的分式称作“年金终值系数”,记为 (F/A，i，n),上式也可写作： FA(F/A，i，n),8,例2-9,甲公司进行一项投资，每年年末投入资金5万元，预计该项目5年后建成。该项投资款均来自银行存款，贷款利率7%，该项投资的投资总额是多少？ 解答：根据普通年金终值计算公式 F=A(F/A，i，n) =5(F/A，7%，5) =55.7507 =28.7538（万元）,9,每年年末存入银行10000元，

4、12的复利计息。问8年后可取出多少钱？,练一练,解答： 根据普通年金终值计算公式 F=A(F/A，i，n) =10000(F/A，12%，8) =1000012.3 = 123 000元,(2)偿债基金,偿债基金即指已知终值F，求年金A，A即为偿债基金 利用普通年金终值的公式 F=A(F/A，i，n) A = F(F/A,i,n) 得：年偿债基金 A =F (A/F,i,n) 偿债基金系数= (A/F,i,n) 1 = (F/A,i,n),11,例2-10,李林今年上高一，其父亲要在三年后为其准备上大学的费用10万元钱，从现在起每年年末等额存入银行一笔款项。假设银行存款年利率为4%，李林的父亲

5、每年需要存入多少元？,A = F (F/A,i,n) =100 000(F/A，4%，3) =100 0003.1216 =32 035元,练一练,某企业有一笔4年后到期的借款，到期本利和为1000万元。银行年复利率为10，则为偿还这笔债务应建立的偿债基金为多少？,年偿债基金（A）= F (F/A,i,n) =1000(F/A,10,4) =1000 4.641 =215(万元),(3)普通年金的现值,普通年金现值是指一定时期内每期期末等额收付款项的复利现值之和。其计算公式为: PA1（1i）n /i 式中的分式称作“年金现值系数”,记为 (P/A，i，n)。上式也可写作： PA(P/A，i，

6、n),公式推导：,PA=A(1+i)-1+A(1+i)-2+A(1+i)-3+A(1+i)-n 利用求和公式S=a1(1-qn)/(1-q)可推导出相应的公式 0 1 2 3 n-2 n-1 n A A A A A A,例2-11,某投资项目从今年起每年年末可带来50000元现金净流入，按年利率为5%，计算预期五年的收益现值。 解答：P=A(P/A，i，n） =500004.3295 =216475（元）,16,天力公司的一项投资从今年起每年年末可带来100000元现金净流入，按年利率为8%，计算预期三年的收益现值。 解答：P=A(P/A，i，n） =100000 (P/A，8%，3） =10

7、00002.5771 =257710（元）,练一练,17,（4）年投资回收额,年投资回收额实际是已知普通年金现值P，求年金A。 利用普通年金现值的公式， P=A(P/A，i，n) 得： 年投资回收额 A=P(P/A,i,n) 年投资回收系数 =（A/P,i,n) 1 = (P/A,i,n),18,练一练,假设借款2000万元，投资于寿命为10年的项目，在要求报酬率为10%的情况下，每年至少收回多少现金才有利？,年投资回收额（A）=20001/6.1446 =20000.1627 =325.4（万元）,普通年金的公式汇总,普通年金终值： F=A(F/A，i，n) 偿债基金: A = F (A/F

8、，i，n) 普通年金现值:P=A(P/A，i，n) 年投资回收额: A=P(A/P,i,n),系数互为倒数,系数互为倒数,结论：在年金计算中中，F、P不能互求,训练 计算普通年金的终值和现值,【实训项目】 计算普通年金的终值和现值 【实训目标】 掌握普通年金的终值和现值的计算与应用。 【实训任务】 1某人准备存入银行一笔钱，以便在以后的10年中每年年底得到2 000元，银行存款利率为5，计算该人目前应存入银行多少钱？ 2某公司需用一台设备，买价为15 000元，使用寿命为10年。如果租入，则每年年末需支付租金2 200元，除此以外，其他情况相同，假设利率为8，试说明该公司购买设备还是租用设备好

9、？,2、即付年金的终值和现值计算,预付年金是指从第一期起, 在一定时期内每期期初等额收付的系列款项, 又称预付年金或先付年金。,0 1 2 3 n-2 n-1 n A A A A A A,即付年金终值 0 1 2 3 n-2 n-1 n A A A A A A 普通年金终值,即付年金终值好比将普通年金所有的现金流向左平移了一个时期，因此，所有现金流的终值要多乘一个（1+i）,因此，F先=A(F/A，i，n)（1+i）,0 1 2 3 n-2 n-1 n A A A A A A,(1)预付年金的终值,FA（1i）n11/ i 1 “预付年金终值系数” 是在普通年金终值系数的基础上,期数加1,系数

10、减1所得的结果。通常记为 (F/A，i，n1)1。 上述公式也可写作: FA(F/A，i，n1)1,例2-13,甲公司进行一项投资，每年年初投入资金5万元，预计该项目5年后建成。该项投资款均来自银行存款，贷款利率7%，该项投资的投资总额是多少？ 解答：根据预付年金终值计算公式 F=A(F/A，i，n+1)-1 =5【(F/A，7%，6) -1】 =56.1533 =30.7665（万元）,25,每年年初存入银行10000元，存款利率10%，问10年后到期时可取出多少钱？ 解答：根据预付年金终值计算公式F=A(F/A，i，n+1)-1 =10000 (F/A，10%，11)-1 =10000 (

11、18.5312-1） =175312,练一练,26,0 1 2 3 n-2 n-1 n A A A A A A,预付年金现值好比将普通年金所有的现金流向左平移了一个时期，因此，所有现金流的现值要少折现一个期间，即多乘一个（1+i）,所以得出 P=A(P/A，i，n)（1+i）,(2)预付年金的现值,0 1 2 3 n-2 n-1 n A A A A A A,(2)预付年金的现值,公式： PA1-（1i）- (n-1)/i +1 “预付年金现值系数” 是在通年金现值系数的基础上,期数减1,系数加1所得的结果。通常记为 (P/A，i，n1)1。 上述公式也可写作： PA(P/A，i，nl)1,例2

12、-14,张某采用分期付款方式购入一辆汽车，每年年初付款3万元，分10年付清，假定银行利率为6%，该付款方式相当于一次性付款是多少？ 解答：根据预付年金现值计算公式 P =A(P/A，i，n-1)+1 =3 (P/A，6%，9)+1 =23.405万元,29,思考,某企业需要一台设备，若直接购买，价格为1100万元；若采取向租赁公司租入方式，每年年初支付租金250万元。 假若i10，n5，应如何决策？,30,解答：根据预付年金现值计算公式 租金现值=A(P/A，i，n-1)+1 =250 (P/A，10%，4)+1 =250(3.1699+1) =1042.475万元 租金现值小于目前的购买价格

13、，应采取租赁方式,预付年金终值:F=A(F/A，i，n)（1+i） =A(F/A，i，n+1)-1 预付年金现值: P=A(P/A，i，n)（1+i） =A(P/A，i，n-1)+1,现付年金的公式汇总,32,3、递延年金,第一次收付发生在第二期或第二期以后的系列等额款项 递延年金支付形式中，一般用m表示递延期数， n表示连续支付的期数,33,（1）递延年金终值,如何计算递延年金终值？ F=A(F/A,i,m+n)-A(F/A,i,m) F=A(F/A,i,n),例2-15 选择最优购房方案,李明参加工作五年了，近日，他看中一套房子，开发商提出三个付款方案： 方案一：现在起15年内每年末支付3

14、万元 方案二：现在起15年内每年初支付2.5万 方案三：前5年不支付，第六年起到15年每年末支付5万元。 假设按银行利率10%复利计息,采用终值比较。,解决问题：,方案一：F=A(F/A，i，n) =3(F/A，10%，15) =331.772 =95.316(万元) 方案二：F=A【(F/A，i，n+1)-1】 =3 【(F/A， 10%，16)-1】 =87.375(万元),方案三：F=A(F/A，i，n) =5(F/A，10%，10) =515.937 =79.685(万元),思路一,n期普通年金现值,m期复利现值,任务：掌握递延年金现值的计算,38,思路二,A,A,m期的普通年金现值,

15、n+m期的普通年金现值,思路三,A,A,n+m期的复利现值,n期的普通年金终值,40,递延年金现值公式总结：,PA A（P/A,i,n)(P/F,i,m) PA A（P/A,i,mn)-(P/A,i,m) PA A（F/A,i,n)(P/F,i,mn),例2-16,某公司向银行借入一笔款项，银行贷款的利率为10%，一年复利一次，借款合同约定前5年不用还本付息，从第六年到第十年每年年末偿还本息50000元。请计算这笔款项的金额大小。,解决问题,方法1：PA A（P/A,i,n)(P/F,i,m) =50000 （P/A,10%,5)(P/F,10%,5) =50000 3.7908 0.6209 =117685.39（元） 方法2：PA A（P/A,i,mn)-(P/A,i,m) =50000（ P/A,10%,10)-(P/A,10%,5) =50000(6.1446- 3.7908 ) =117690（元）,方法3： PA A（F/A,i,n)(P/F,i,mn) =50000（F/A,10%,5)(P/F,10%,10) =50000 6.1051 0.3855 =117675.80(元),练一练：,天泽公司准备从现在开始存入一笔款作为员工张华的退休养老金。张华今年25岁，准备30年后每年年末从业好提取1000元，连续提取20年，银行复