协方差和相关系数.ppt

1、 5.3 协方差和相关系数,问题 对于二维随机变量(X ,Y ):,已知联合分布,边缘分布,这说明对于二维随机变量，除了每个随机 变量各自的概率特性以外，相互之间可能还有 某种联系. 问题是用一个什么样的数去反映这 种联系.,数,反映了随机变量X ,Y 之间的某种关系,可以证明协方差矩阵为半正定矩阵,若D (X ) 0, D (Y ) 0 ,称,为X ,Y 的 相关系数，记为,事实上，, 利用函数的期望或方差计算协方差,若 ( X ,Y ) 为离散型，,若 ( X ,Y ) 为连续型，,求 cov (X ,Y ), XY,解,例2 设 ( X ,Y ) N ( 1, 12,2,22,), 求

2、XY,解,若 ( X ,Y ) N ( 1, 12, 2, 22, ),则X ,Y 相互独立,X ,Y 不相关,例3 设 (0,2) , X = cos , Y = cos( + ), 是给定的常数，求 XY,解,若,若,有线性关系,若,不相关，,但,不独立，,没有线性关系，但有函数关系,例4 设 X ,Y 相互独立，且都服从 N (0, 2), U = aX + bY , V= aX - bY , a,b 为常数，且都不为零，求UV,解,由,而,故,继续讨论：a , b 取何值时， U , V 不相关？ 此时， U , V 是否独立？,但 U N ( 0, 2a2 2 ), V N ( 0,

3、 2a2 2 ),若 a = b，UV = 0, 则 U , V 不相关.,且U ,V 相互独立,协方差的性质,当D(X ) 0, D(Y ) 0 时，当且仅当,时，等式成立,Cauchy-Schwarz不等式,证 5 令,对任何实数 t ,即,等号成立,有两个相等的实零点,即,又显然,即,即Y 与X 有线性关系的概率等于1，这种线性 关系为,完全类似地可以证明,当E(X 2) 0, E(Y 2 ) 0 时，当且仅当,时，等式成立,相关系数的性质,Cauchy-Schwarz不等式 的等号成立,即Y 与X 有线性关系的概率等于1， 这种线性关系为,若X , Y 是两个随机变量，用X 的线性函数

4、去 逼近 Y 所产生的平均平方误差为,当取,平均平方误差最小.,X , Y 不相关,X , Y 相互独立,X , Y 不相关,若 X , Y 服从二维正态分布，,X , Y 相互独立,X , Y 不相关,在例3中 设 (0,2) , X = cos , Y = cos( + ), 是给定的常数，求得,若,若,有线性关系,若,不相关，,没有线性关系, 但有其他关系,例5 设 ( X ,Y ) N ( 1,4; 1,4; 0.5 ), Z = X + Y , 求 XZ,解,例6 设随机变量 X 的概率密度函数为,(1) E(| X |), D(| X |) (2) 求cov( X ,| X |), 问X 与| X |是否不相关. (3) 问X 与| X | 是否独立？为什么？,解 (1),(2),X 与| X |不相关.,(3),显然,因而 X 与| X | 不独立,例7 设A ,B 为随机试验 E 的两个事件， 0 P (A) 1, 0 P (B) 1, 令,证明：若 XY = 0, 则随机变量 X ,Y 相互独立.,证