线性代数方程组的解法

1、.,1,第五章 线性代数方程组的解法,5.1 预备知识,.,2,求解线性方程组,.,3,利用 法则求解时存在的困难是：当方程 组的阶数 很大时，计算量为,常用计算方法:,(1) 直接解法：它是一类精确方法，即若不考虑计算过程中的舍入误差，那么通过有限步运算可以获得方程解的精确结果.,.,4,(2) 迭代解法：所谓迭代方法，就是构造某种极限过程去逐步逼近方程组的解.,经典迭代法有：,.,5,5.1.1 向量空间及相关概念和记号,1 向量的范数,.,6,根据定义:,.,7,范数的等价性,例如：,.,8,向量序列,若对,则称向量序列 收敛于向量,这是因为,2 向量序列的收敛问题,.,9,利用向量范数

2、的等价性及向量范数的连续性, 容易得到定理5.2的证明,.,10,对于 上的任何向量范数,我们可以定义矩阵范数.,1. 矩阵的范数,5.1.2 矩阵的一些相关概念及记号,.,11,定理5.3 矩阵的从属范数具有下列基本性质：,1） ，当且仅当 时，,2),定理5.3中的性质 1), 2) 和 3)是一般范数所满足的基本性质，性质 4)、5) 被称为相容性条件，一般矩阵范数并不一定满足该条件.,.,12,三种从属范数计算：,（1）矩阵的1-范数（列和范数）:,（3）矩阵的2-范数:,其中 : 的最大特征值,（2）矩阵的 -范数（行和范数）:,.,13,解：,按定义,.,14,矩阵范数的等价定理：

3、,几种常用范数的等价关系：,.,15,2. 谱半径：,此时,若 为对称阵，,（ 因为 ）,.,16,关于矩阵的谱半径与矩阵的范数之间有如下关系.,.,17,定义5.3,称矩阵序列 是收敛的，,如果存在 ，使得,此时称 为矩阵序列 的极限,记为,3. 矩阵级数的收敛性,.,18,.,19,该定理将被应用于解方程组的扰动分析和Gauss消去法的舍入误差分析.,.,20,4 矩阵的条件数,.,21,.,22,5 几种特殊矩阵,且至少有一 个使不等式严格成立，则称矩阵,为按行对角占优矩阵。若 严格不等,式均成立，则称 为按行严格对角占优矩阵.,类似地，可以给出矩阵 为按列（严格）对角 占优矩阵的定义.

4、,.,23,证明 我们只证按行严格对角占优的情形，这时有,从而,矛盾,.,24,.,25,5.2 Gauss消去法、矩阵分解,.,26,2.1 Gauss消去法,下面通过简单例子导出一般算法。,设给定方程组,(1),.,27,乘以第一个方程，这样方程组（1）,其中：,显然方程组（2）和原方程组（1）等价,(1),.,28,其中,依此方法继续下去，得到,.,29,（4）,从（4）的最后一个方程组得到,其中,.,30,再将,代入（4）倒数第二个方程，可得：,类似地，得到：,我们称将方程组（1）按以上步骤化为等价方程组 （4）的过程为解线性方程组的消元过程,从（4）中得出解的过程称为高斯消去法的回代

5、过程,（4）,.,31,一般情形,1. 消元过程,首先消去第一列除 之外的所有元素，,.,32,设,.,33,其中,这里取,2. 回代过程,若通过消元过程原方程组已化为等价的三角形 方程组,.,34,且 , 则逐步回代可得原方程组的解,.,35,Gauss逐步消去法有如下的缺点：,任一主元 ，就无法做下去,任一 绝对值很小时,也不行（舍入误差的影响大）,2.2 Gauss主元素消去法,下面我们讨论列主元消去法.,.,设,.,37,并令 为达到最大值 的最小行标 ，,可以防止有效数字大量丢失而产生误差.,.,38,例 用列主元消去法解如下方程组,解 对增广矩阵按列选主元再进行高斯消元,.,39,

6、.,40,回代求解得,.,41,%magauss2.m function x=magauss2(A,b,flag) %用途：列主元Gauss消去法解线性方程组Ax=b %格式：x=magauss(A,b,flag), A为系数矩阵, b为右端项, 若flag=0, % 则不显示中间过程，否则显示中间过程, 默认为0, x为解向量 if nargink t=A(k,:); A(k,:)=A(p,:); A(p,:)=t; t=b(k); b(k)=b(p); b(p)=t; end,.,42,%消元 m=A(k+1:n,k)/A(k,k); A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:

7、n)-m*A(k,k+1:n); b(k+1:n)=b(k+1:n)-m*b(k); A(k+1:n,k)=zeros(n-k,1); if flag=0, Ab=A,b, end end %回代 x=zeros(n,1); x(n)=b(n)/A(n,n); for k=n-1:-1:1 x(k)=(b(k)-A(k,k+1:n)*x(k+1:n)/A(k,k); end,.,43,全主元消去法,定义,此时交换 和 的行及A的列，使主元位置的元素 的绝对值具有给出的最大值 ，,然后进行第 步消元过程,.,44,Gauss消去法的实质是将矩阵 分解为,其中 -单位下三角矩阵， -上三角矩阵.,

8、事实上，线性方程组,经过 步消元过程后，有等价方程组,其中： ，而 和 的形式为：,2.3 矩阵的三角分解与Gauss消去法的变形,.,45,（1）,可以直接验证 ，,.,46,.,47,其中,.,48,则 也是对角元等于1的下三角阵,用矩阵 依次左乘原给方程组 两边，得等价方程组,则,其中,.,49,(2),.,50,Gauss逐步消去法等价于下述过程：,2. 求解三角形方程组 （回代过程）.,(注意上面的全部讨论中要求 ),.,51,比较等式两边对应元素算出,Doolittle分解,.,52,Doolittle分解计算顺序为,第一层,第二层,第三层,.,53,Crout分解：,比较两边对应的元素，得,.,54,其中,、 分别为单位下、上三角阵,例,实际上，进一步可以做分解,.,55,首先我们来看一个命题:,证明:,我们对A做分解,其中,、 分别为单位下、上三角阵,1. 对称正定阵的Cholesky分解,.,56,于是有,由于 正定， 故有,取,令,即得,证毕,我们将上面的这种分解称为Cholesky分解.,下面我们讨论Cholesky分解的算法.,.,57,比较两边对应的元素，有：,以 的第二行乘 的前两列,.,58,即得,又可以解出,由 的正定性可知平方根中值 为正的,.,59,由矩阵乘法解得,例,.,60,设线性方程组 的系数矩阵 为三对角矩阵,当 的所有顺序