第3章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有).ppt

1、第3章 张量函数及其导数,2020年8月24日,主要内容,张量函数、各向同性张量函数的定义和例 矢量的标量函数 二阶张量的标量函数 二阶张量的二阶张量函数 张量函数导数的定义，链规则 矢量的函数之导数 二阶张量的函数之导数,张量函数、各向同性张量函数的定义和例,要研究导数，必须引进函数。 张量函数，有各种类型。 例如，张量的标量函数：,例如，张量的张量函数：,张量函数、各向同性张量函数的定义和例,各向同性张量函数（客观性背景） 可先看各向同性标量函数：在坐标系刚性旋转变换下，其表现形式和数值均保持不变。 例如：,张量函数、各向同性张量函数的定义和例,等价表示或等价描述：上述各向同性函数的描述，

2、虽然清晰，但很不方便，因为坐标系要旋转。问题：能否找到一种等价描述，在该描述下，坐标系保持不动？ 经典解析几何中，解析地描述一个几何图形的运动，有两种不同的思想。一种思想：图形不动，移动坐标。但运动是相对的，于是另一种思想：坐标不动，图形移动。 注意：运动学思想之重要！,张量函数、各向同性张量函数的定义和例,考察一个最简单的图形，一个矢量 。研究两种相对的旋转运动下，矢量的表达，以及矢量的标量函数的表达。一种旋转运动，矢量不动，坐标系顺时针旋转一个角度，函数不变： 另一种旋转运动，坐标系不动，矢量逆时针旋转同一个角度，函数不变： 进一步：,张量函数、各向同性张量函数的定义和例,矢量 的旋转量：

3、 二阶张量 的旋转量 ： 进一步看：,张量函数、各向同性张量函数的定义和例,把上述思想推广至一般情形：各向同性张量函数,函数,满足当自变量,改为其旋转量,时，函数值,必相应地,变为其旋转量,，即：,通过正交变换，使,从而使,张量函数、各向同性张量函数的定义和例,各向同性张量函数,例子请见张量分析的92 93页。,矢量的标量函数,Cauchy基本表示定理：,矢量,的标量函数,为各向同性,f 可表示为内积,的函数。,推论：,矢量,的标量函数,为各向同性,f 可表示为,张量的标量函数,定理1：,若,为各向同性函数,例：屈服函数,定理2：,若,为各向同性函数,时，发生屈服，张成的曲面为屈服面。,因此，

4、,一次项,二次项,三次项,张量的标量函数,例：屈服函数,若材料不可压缩，,马氏体相变（金属材料）+ 塑性屈服,考虑,因此有,消失；,若只研究二次项，,消失，因此有,若材料可压缩，,则与,有关，因此有,二阶张量的二阶张量函数,二阶张量的解析函数,幂级数：,仿照复变函数中的解析函数来构造二阶张量的解析函数：,如何确定 ？,二阶张量的二阶张量函数,Hamilton-Cayley等式,推广：,T的特征多项式：,H-C等式：,均可用 来表达。,由于 ，,也就是说，,H-C等式的意义：只需研究低次项，而无需高次项。,二阶张量的二阶张量函数,例：应力应变关系,1、各向同性材料,未加载时，有,2、线性各向同性

5、材料,则,因此，有,张量函数导数的定义，链规则,有限微分、导数与微分,函数的导数、微分：,有限微分是张量函数导数的核心！,先对函数概念做扩展！ A是自变量，可以是标量，矢量，张量。 B是函数，也可以是标量，矢量，张量。,典型例子： 非线性弹性材料： 过去，这样求导，似乎天经地义。 本章假定：仅研究直线坐标系下张量函数的导数。换言之，基矢量不变，是常矢量。,如果： 且x是标量， 则总有： 然而，如果： 且v是矢量， 就没有任何意义了！因此，微分的概念要拓展。,从微分到有限微分，出发点，仍然是传统的微分 称为函数F(x)对z的有限微分。 其中：h无量纲无穷小量； z自变量x的有限增量，与x同量纲。

6、 令z=1，立即有：,可以证明： 这是有限微分与传统微分之间的关系：线性关系！ 令dx=hz，则有： 即得： 进一步：,进一步推广：矢量的矢量函数,有限微分运算具有线性性与可和性。,线性性：,可和性：,规定gi是常矢量,矢量的矢量函数 的有限微分,张量的张量函数的有限微分（协变微分意义下）,张量函数 ，其中， 注意：至此，都只是给出定义！,张量函数导数的链规则,类似于经典的复合函数求导,经典复合函数 的导数,张量的张量复合函数 的导数（二阶张量）,矢量的函数之导数,矢量的,矢量,标量,张量,函数之导数,先看矢量的标量函数之导数。已有： 出发点，仍为定义： 于是，关键是计算,于是有： 比较（定义式和计算式）： u任意，故立即有：,矢量的函数之导数,推而广之，矢量的函数求导数的计算式,矢量的,矢量,标量,张量,函数之导数,张量的函数之导数,张量的函数求导数的计算式,张量的,矢量,标量,张量,函数之导数,