第十五章 机械振动.ppt

1、第四篇 振动与波动,第十二章 振动,第十三章 波动,第十三章 电磁振荡和电磁波,第十四章 几何光学/ 波动光学,波 动 学,第十二章 振 动,12-5 两个相互垂直的、同频率的简谐振动的合成,12-4 两个同方向、同频率的简谐振动的合成,12-3 阻尼振动 受迫振动 共振,12-2 简谐振动的能量,12-1 简谐振动,1. 掌握描述简谐振动的各物理量及各量间的关系。 2. 掌握旋转矢量法。 3. 掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐 振动的微分方程，能根据给定的初始条件写 出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理 意义。 4. 理解同方向、同频率的两个简谐振动的合成。,教学基本要求,物体在一定

2、位置附近来回往复的运动,机械振动:,引言.F,一. 简谐振动,1. 弹簧振子,模型,任何复杂的振动都可以认为是由几个或多个简谐振动合成,12-1 简谐振动,FF2,（理想化的物理模型）,平衡位置O,物体所受合外力为零的位置,胡克定律,弹性力大小,方向,始终指向平衡位置O,以O 为原点取Ox轴，坐标x 为物体相对于平衡位 置的位移,（变力）,物体所受合外力大小F = -kx 的运动为简谐振动,2. 简谐振动定义,令,加速度与位移成正比且方向相反的振动为简谐振动,位移是时间的余弦（正弦）函数的运动为简谐振动,简谐振动的动力学方程,解为:,简谐振动方程,二. 简谐振动的振幅、周期及频率,振幅 A,物

3、体离开平衡位置的最大位移的绝对值,周期 T,物体作一次完全振动所需的时间，单位 s,频率 v,单位时间内所作完全振动的次数，单位 Hz,角(圆)频率,秒内物体作全振动的次数,单位 rad/s 或 s-1,简谐振动方程可以表示为,振动周期和频率可以表示为,固有周期,固有频率,与初始 条件无关,伽利略曾观察的比萨教堂的吊灯,（弹簧振子）,符合定义的几种简谐振动模型,竖直弹簧振子,平衡时,振动方程,三. 谐振动的速度和加速度,位 移,速 度,加速度,曲线表示：,四. 谐振动的相位、初相和振幅的决定,相位,确定 t 时刻振动物体位移和运动方向,初相,t = 0 时的相位,由初始条件确定A 和,设 t

4、= 0 时，,由,振幅,（振动状态）,1. 由 给出 的两个可能值,2.由 的正负号，确定 的值,初相 的决定,（难点）,（决定于 正负）,或：,来求解。,例题 12-1 弹簧振子 ， 。就下列情形分别求简谐振动方程。 将物体从平衡位置向右移到 处释放。 将物体从平衡位置向右移到 处后并给物体以向左的速度 。,解,时，,振幅,角频率,k,由,振动方程,时，,振幅,振动方程：,由,？,设平衡时钢绳的伸长量为,例题 12-2 卷扬机上吊着 的重物，以速度 下降，钢绳上端因故突然被卡住，这时钢绳的劲度系数 ，不计钢绳质量，求重物此后的运动方程。,解,建立坐标系，,当m 相对于O 的位移为 x 时,故

5、作谐振动,令,取钢绳刚被卡住时t=0，,运动方程,或：,例题 12-3 证明：当摆球偏角 很小时，单摆的运动为简谐振动，并求其周期。,取摆线在平衡位置的右边时， 为正,解：,摆球切向运动方程：,当 时，,令,故单摆作谐振动，振动周期,例4）如图所示为一L、C自由振荡电路，求其自 由振荡频率。,解：设电流方向如图。,依基尔霍夫定律：,令：,对t求导：,（R=0）,五. 简谐振动的旋转矢量表示法,t = 0时，,与x轴夹角,t 0时，,以 为角速度逆时针方向旋转， 与 x轴夹角,FF,旋转矢量 在 x 轴上的投影P点,作谐振动,注意：,例题 12-5 设质点在Ox轴上作谐振动，振幅为A。若某时刻

6、t 测得质点的位移 ，向Ox轴负方向运动。求该时刻质点振动的相位。,作旋转矢量图，t 时刻质点振动的相位,解1 旋转矢量法,解2 解析法,动能：,势能：,总能量：,12-2 简谐振动的能量,简谐振动的动能和势能随时间变化并相互转换，振动系统的总机械能守恒.,x,O,t,动能,势能,总能量,能量曲线,一. 阻尼振动,振幅随时间减小的振动,实验表明，流体中运动物体所受的粘滞阻力,由牛顿第二定律,令,阻力系数,阻尼系数,固有角频率,运动微分方程,12-3 阻尼振动 受迫振动 共振,*,1. 弱阻尼,有阻尼作用时的角频率,振动曲线,微分方程解为,阻尼振动的周期,2. 强阻尼及临界阻尼,强阻尼,弱阻尼,

7、位移时间曲线,x,t,O,临界阻尼,强阻尼,二. 受迫振动 共振,1. 受迫振动,系统在周期性外力作用下发生的振动,周期性的外力称为驱动力。最简单的驱动力可表示为,驱动力的振幅,驱动力的角频率,2. 运动微分方程,令,受迫振动的运动方程,其中,稳态解,暂态解,振幅,与驱动力相位差,3. 共振,由 得A 取最大值时，共振角频率,稳定受迫振动的振幅A 最大的现象称为共振,最大振幅,长850米、宽12米的美国华盛顿州Tacoma Narrows 桥，于1940年，在通车几个月后，由于凌晨的风引起大幅摆动因共振而垮塌.,振幅,初位相,合振动位移,一质点同时参与两个同方向、同频率简谐振动,12-4 两个

8、同方向、同频率简谐振动的合成,FF,同频率的谐振动,相位差 的影响,1. 相位相同,2. 相位相反,3. 一般情况下,重要：,例题 12-6 物体同时参与N个同方向、同频率的谐振动，其振幅都等于a，每相邻二振动的相位差都等于 成等差级数。求合振动振幅。FF,解,设N个简谐振动的振动方程为,C,O,M,N,P,Q,旋转矢量表示,合振动的振幅,N个等腰三角形全等，每个三角形底角均=,每个三角形顶角均=,其中,一. 合振动,两个互相垂直、同频率的简谐振动可表示为,合振动的轨道方程,为一椭圆,12-5 两个互相垂直的、同频率的简谐振动的合成,*,1. 两振动相位差 时，轨道方程为,其轨道是一过原点，斜率为 的直线 ，质点作振幅为 的简谐振动。,二. 讨论,2. 两振动相位差 时，轨道方程,其轨