2018-19学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4.1抛物线的标准方程课件苏教版.pptx

1、2.4.1抛物线的标准方程,第2章2.4抛物线,学习目标,1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程. 3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程的问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点抛物线的标准方程,思考1在抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？ 答案p是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线方程中一次项决定开口方向. 思考2已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？ 答案一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上.若系数为正，则焦点在正半轴上；若系数为负，则焦点在负半轴上.

2、焦点确定，开口方向也随之确定.,梳理抛物线的标准方程有四种类型,1.抛物线y22x(p0)的焦点坐标为(1,0).( ) 2.到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线.( ) 3.抛物线的方程都是y关于x的二次函数.( ) 4.方程x22py是表示开口向上的抛物线.( ),思考辨析 判断正误,题型探究,类型一求抛物线的标准方程,解答,例1分别根据下列条件求抛物线的标准方程： (1)已知抛物线的焦点坐标是F(0，2)；,解因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上，,所以所求抛物线的标准方程为x28y.,解答,解因为抛物线的准线平行于x轴，且在x轴上面，,解答,(3)焦点在x轴负半轴上，焦点到准

3、线的距离是5；,解由焦点到准线的距离为5知，p5. 又焦点在x轴负半轴上， 所以所求抛物线的标准方程为y210 x.,解答,(4)过点A(2,3).,解由题意知，抛物线方程可设为y2mx(m0)或x2ny(n0).将点A(2,3)的坐标代入，,反思与感悟求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2ax(a0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2ay(a0).,解答,跟踪训练1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点(3，4)；,解方法一点(3，4)在第四象

4、限， 设抛物线的标准方程为y22px(p0)或x22p1y(p10). 把点(3，4)分别代入y22px和x22p1y， 得(4)22p3,322p1(4)，,方法二点(3，4)在第四象限， 设抛物线的方程为y2ax(a0)或x2by(b0).,解答,(2)焦点在直线x3y150上，且焦点在坐标轴上； 解令x0，得y5；令y0，得x15， 抛物线的焦点坐标为(0，5)或(15,0). 所求抛物线的标准方程为x220y或y260 x.,解答,(3)焦点到准线的距离为 .,类型二求抛物线的焦点坐标及准线方程,例2已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程： (1)y26x； 解由方程y26x知，

5、抛物线开口向左，,解答,(2)3x25y0；,解答,(3)y4x2；,解答,(4)y2a2x(a0). 解由方程y2a2x(a0)知，抛物线开口向右，,解答,引申探究 若将本例(4)中条件改为yax2(a0)，结果又如何？,解答,反思与感悟如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向.一次项的变量若为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向.,跟踪训练2若抛物线y22px的焦点坐标为(1,0)，则p_，准线方程为_.,答案,解析,2,x1,类型三抛物线定义的应用,解答,其方程应为y22px(p0)的形式，,故点M的轨

6、迹方程为y22x(x0).,反思与感悟满足抛物线的定义，可直接利用定义写出轨迹方程，避免了繁琐的化简.,跟踪训练3平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程. 解由题意知，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1. 由于点F(1,0)到y轴的距离为1，故当x0时，直线y0上的点适合条件； 当x0时，原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线x1的距离相等， 故点P的轨迹是以F为焦点，x1为准线的抛物线，方程为y24x.,解答,解答,命题角度2利用抛物线定义求最值 例4设P是抛物线y24x上的一个动点，F为抛物线的焦点. (1)求点P到点A(1,1)的距

7、离与点P到直线x1的距离之和的最小值；,解如图，易知抛物线的焦点坐标为F(1,0)， 准线方程是x1. 由抛物线的定义知， 点P到直线x1的距离等于点P到焦点F的距离， 于是问题转化为在曲线上求一点P， 使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小. 显然，连结AF， AF与抛物线的交点即为点P，故最小值为 即点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值为,解答,(2)若点B的坐标为(3,2).求PBPF的最小值.,过点B作BQ垂直于准线， 垂足为点Q，交抛物线于点P1，连结P1F. 此时，由抛物线定义知，P1QP1F. 所以PBPFP1BP1QBQ314，

8、即PBPF的最小值为4.,反思与感悟解决最值问题：在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线来解决最值问题.,跟踪训练4已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_. 解析由题意知，直线l2：x1为抛物线y24x的准线. 由抛物线的定义知，点P到l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1,0)的距离， 故所求最值可转化为在抛物线y24x上找一个点P， 使得点P到点F(1,0)和到直线l1的距离之和最小， 最小值为F(1,0)到直线l1：4x3y60的距离，,2,答案,解析,达标检测,

9、答案,1,2,3,4,5,解析,y1,1,2,3,4,5,答案,解析,2.设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是_. 解析抛物线y28x的准线方程为x2，则点P到准线的距离是6. 由抛物线的定义可知，点P到抛物线焦点的距离是6.,6,3.根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)准线方程为x1._.,1,2,3,4,5,答案,解析,y24x,又焦点在x轴上，则抛物线的标准方程为y24x.,(2)焦点在x轴的负半轴上，焦点到准线的距离是2._. 解析焦点到准线的距离为p2，且焦点在x轴的负半轴上， 抛物线的标准方程为y24x.,y24x,答案,解析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,5.若抛物线y22px(p0)上有一点M，其横坐标为9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标.,解答,由题意设点