切线与法平面

1、18.3 几何应用,一 平面曲线的切线与法线,二. 空间曲线的切线与法平面,三 曲面的切平面与法线,四 小结,问题的提出,我们可以利用偏导数来确定空间曲线的 切向量和空间曲面的法向量,切线方程为,法线方程为,的某邻域内满足隐函数定理条件，则,一. 平面曲线的切线与法线,求曲线上过点 的切线方程，这里, 设曲线用参数方程表示为,二. 空间曲线的切线与法平面,由于切线是割线的极限位置，从而考虑通过点 和点 的割线方程,在上式各端的分母都除以,由于切线是割线的极限位置，在上式中令 取极限，就得到曲线在点 的切线方程：,由此可见，曲线在点 的切线的一组方向数是,曲线在点 的法平面就是过 点且与该点的切

2、线垂直的平面，于是切线的方向数就是法平面的法方向数，从而过 点的法平面方程是, 如果曲线的方程表示为,可以把它写成如下的以 为参数的参数方程,于是可得曲线在点 的切线方程和法平面方程如下：, 一般地，如果曲线表示为两个曲面的 交线：,设 ，设上述方程组在点 确定了一对函数,由这两个方程可解出,这时容易把它化成刚才讨论过的情形：,从而可得曲线在点 的切线方程：,和法平面方程,解：,在（ 1 ，1 ，1 ）点对应参数为 t = 1,切线方程：,例1 求曲线 在点 处的切线及法平面方程。,例2、求曲线 在点（ 1 ，-2 ，1）处的切线及法平面方程。,法平面方程： x - z = 0,切线方程：,解

3、,在曲线方程中分别对 求导，得,对应于点 的参数 ，于是,从而切线方程为,法平面方程为,解,在方程组,中分别对 求导数，得,于是,从而在点 有：,所以切线方程为：,即,此直线可看作是 平面与平面 的交线。,三 曲面的切平面与法线, 设曲面方程为,过曲面上点 任作一条在曲面上的曲线 ，设其方程为,显然有,在上式两端对 求导，得,曲线在M处的切向量,上式说明向量 与切线向量 正交。,从而曲面在 点的切平面方程为,由于 的任意性，可见曲面上过 的任一条曲线 在该点的切线都与 正交，因此这些切线应在同一平面上，这个平面称为曲面在 点的切平面，而 就是切平面的法向量。,在 点（设 点对应于参数 ）有,过

4、 点与切平面垂直的直线，称为曲面在 点的法线，其方程为,该法线的一组方向数为：,综上所述若曲面方程为,则该曲面在 点的切平面方程为,过 点的法线方程为,设 分别为曲面在 点的法线与 轴正向之间的夹角，那末在 点的法线方向余弦为, 若曲面方程为,容易把它化成刚才讨论过的情形：,于是曲面在 （这里 ）点的切平面方程为,法线方程为, 若曲面方程为参数形式：,如果由方程组 可以确定两个函数：,于是可以将 看成 的函数，从而可以将问题化为刚才已经讨论过的情形。,代入方程 ，得,因此需分别计算 对 的偏导数。,将 分别对 求导，注意到 为 的函数按隐函数求导法则有,解方程组，得,法线方程,于是曲面在 点的

5、切平面方程为,例 1 求球面 在点 的切平面及法线方程,解,设,则,所以在点 处 球面的切平面方程为,法线方程,曲面的夹角,两个曲面在交线上某点处的两个法线的夹角称为这两个曲 面在该点的夹角。,如果两个曲面在该点的夹角等于 90 度，则称这两个曲面在 该点正交。若两曲面在交线的每一点都正交，则称这两曲 面为正交曲面。,例 2 证明对任意常数 ，球面 与锥 面 是正交的。,即,证明,球面 的法线方向数为,锥面 的法线方向数为,在两曲面交线上的任一点 处，两法向量的内积,因 在曲面上，上式右端等于 0 ，所以曲面与锥面正交。,解,切平面方程为,法线方程为,解,令,切平面方程,法线方程,解,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于