几种特殊类型函数的积分

1、第四章,二、三角函数有理式的积分,三、简单无理式的积分,一、有理函数的积分,第四节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,几种特殊类型 函数的积分,定义：,两个多项式的商表示的函数称为有理函数.,一、有理函数的积分,即,称此有理函数是真分式；,称此有理函数是假分式；,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和。,例,多项式的不定积分是容易求的，因此，下面我们只讨论真分式的不定积分。,说明：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（1）分母中若有因式 ，则分解后含有下列项:,则分解后含有下列项：,（2）分母中若有

2、因式 , 其中,具体步骤如下：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四种典型部分分式的积分:,变分子为,再分项积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,整理得,例1 求积分,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入特殊值来确定系数,取,取,取,并将 值代入,例2：求积分,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解1:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解得：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解2:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,说明: 将有理函数分解为部分分式进行

3、积分虽可行,但不一定简便 ,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法.,解: 原式,例5：求积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解: 原式,注意本题技巧,按常规方法较繁,例6：求积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三角函数的有理式的定义：,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数一般记为,二、三角函数有理式的积分,（万能置换公式）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,万能置换公式,例7：求积分,解：,由万能置换公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8：求积分,解1：,机动 目录 上页 下页 返

4、回 结束,用万能公式较繁,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8：求积分,解2：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,同解1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明：,一般来说，用万能置换的计算量会比较大， 故在计算三角函数有理式的积分时，通常先考虑其它方法，不得已再用万能置换。,三角函数有理式的主要积分类型及代换,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解1:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9：求积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解2：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（同解法1）,例9：求积分,解3：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9：求积分,例10：求,解：,

5、令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、简单无理函数的积分,解：令,则,原式,例11：求积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12：求积分,解：令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13：求积分,解：令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,简单无理函数积分小结,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1、当被积函数含有根式，且根式中含有三角函 数、指数函数、对数函数时，可先令整个根 式为 t ，去掉根式后再作。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解1:,例14：求积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解2：,例14：求积分,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、内容小结,

6、1. 可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法 ,简便计算 .,简便 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,习题4-4 (P280) 2 (双)；3 (双)；4 (双)；,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,备用题,2、求积分,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3、求积分,解1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解2,修改万能置换公式,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3、求积

7、分,解3,可以不用万能置换公式.,说明：,比较以上三种解法便知，万能置换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能置换.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3、求积分,解:,说明: 通常求含,的积分时,往往更方便 .,的有理式,用代换,4、求积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法1,令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5、求积分,解法2,原式,6、求积分,解1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6、求积分,解2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解3,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6、求积分,解1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7、求积分,解2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7、求积分,解3,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7、求积分,解1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8、求积分,解2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8、求积分,解3,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8、求积分,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,9、求积分,解1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10、求积分,解2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10、求积分,解3,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10、求积分,解4：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10