第二章 插值法与数值微分.ppt

1、第二章 插值法与数值微分,2.1 线性插值和抛物插值 2.2 拉格朗日插值多项式 2.3 插值多项式的误差 2.4 分段插值法 2.5 三次样条插值 2.6 数值微分 附 牛顿型多项式插值,引 言,实际中，f(x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据； 或者f(x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数g(x)来逼近f(x)。这个过程就是曲线拟合。,插值法在工程及建筑设计中应用十分广泛。例如，已知一天24小时的逐时室外气温、综合温度、冷热负荷等值，需要知道其他任意时刻的值，即可应用插值计算求得；又如，我国工业企业采取通风和空气调节设计规范中，仅给出了有限个地区相应有限个方位的夏季太阳辐射热

2、总强度值，以及透过窗玻璃的太阳总辐射强度值，至于其它任意方位（0-350）的中间值，也要用插值法求得。因此，插值法的研究很有必要。,常用曲线拟合方法：插值法、最小二乘法,自然地，希望g(x)通过所有的离散点,本章学习插值法,基本概念：,1.设已知 在n+1个点 上的函数值分别为 ，求一个不超过n次的多项式 ，使 插值条件 称为插值多项式 称为插值节点, 称为插值区间。,3.插值多项式的存在唯一性： 定理：,2.几何意义：n次代数曲线代替,2.1 线性插值和抛物插值,一、线性插值：,已知函数 在结点 上的函数值 ，要求一个一次多项式 使之满足 ， 其几何意义就是通过A，B两点作一条直线近似代替曲

3、线 。,图23 线性插值几何意义,优点：计算简单，以直线代替曲线。 缺点：精度低，误差大。 改进：多用一些点。,由解析几何，我们立即可以得到的 表达式,这样的 一般是 的一次多项式，即一次函数。这种插值称为线性插值（或一次插值）。,例2.1已知某多叶调节风阀。当叶片数为n=3时，叶片与气流方向呈各种角度时。某局部阻力系数值如下表表示：,求当等于30时，多叶调节风阀的局部阻力系数的线形插值。,并将其代入线性插值公式，有,二、抛物插值（三点插值） 已知 ,求二次多项式 ,满足插值 条件 。,几何意义：通过三点A、B、C的抛物线代替曲线,这样的 是 的二次函数，其形式为：,其中 为待定常数。,若将A

4、，B，C三点分别代入上式会得到一个有唯一解的三元一次方程，从而 即可确定，但求起来比较麻烦。,简便算法：,抛物插值公式：（二次插值公式）,稍加整理即得抛物插值公式。,例 2.2 分别计算下列各题：1）利用100和121求平方根115；2）利用100，121和144求平方根115。,解:用线形插值求解问题1）,与所求平方根的实际值10.72387比较，得到了具有三位有效数字的结果10.71428 。,用抛物插值求解问题2）,与平方根实际值10.7238比较，10.72275551具有四位有效数字，显然比线形插值的结果好。一般地说，抛物插值比线形插值近似程度要好些。,2.2 拉格朗日插值多项式,对

5、数据进行插值的方法有好几种，如拉格朗日插值法、牛顿插值法、hermite插值法，我们主要介绍的是拉格朗日插值法。 一、拉格朗日插值公式： 1.问题提出：这节就具有一般形式的代数插值问题（即已知函数 在n+1个点上的函数值 ,求一个n次多项式 ，并满足条件 ）来讨论如何构造其插值多项式 。,2.插值基函数：我们只会求有2个3个节点的插值多项式，有更多的节点的插值多项式是怎样的呢，如何求得呢，今天我们就来研究给出n+1个节点的插值多项式的形式。我们先观察线性插值多项式和抛物插值多项式。得出结论：,3.拉格朗日插值公式：,这就是所要求的插值多项式，称为拉格朗日（Lagrange） 插值多项式。,当n

6、=1时，就得出线形插值多项式， n=2时，就得出抛物插值多项式。,4.算法设计与流程图：,（1）流程图：,（2）算法功能：用Lagrange插值公式，对给定的n组 数据进行插值计算。,（3）算法简介：,（4）程序：,/* rtn=lagrange(x0,y0,n,x,float p; *y=0; if(n1) for(i=0;in;i+) p=1; for(j=0;jn;j+) if(i!=j) p=p*(x-x0j)/(x0i-x0j); *y=*y+p*y0i; return(0); else return(-1); ,main() float x04=0.46,0.47,0.48,0.4

7、9; float y04=0.484655,0.493745,0.502750,0.511668; float x,y; int n,rtn; n=4; x=0.472; rtn=lagrange(x0,y0,n,x, ,1 参数说明： 输入参数：X0 y0 ,（5）程序使用说明：,n整型量，给定插值节点的个数。,X实型量，插值点。,输出参数： y,实型指针，接受调用程序传送的一 个实型量的地址，在程序结束时， 该实型量返回计算结果。,注：该实型量中原有内容将被破坏。,2 调用说明： 格式：rtn=lagrange(x0,y0,n,x,&y)。rtn是一整型量。 本子函数是一个整型函数，因此返

8、回主函数一个整代码于变量rtn中。代码的意义如下： 0程序正常结束，在y中有计算结果。 -1程序异常返回，在y中没有结果。异常的原因是n不大于1，使运算无法继续进行。,（6）Mathematica程序：,插值多项式函数的一般形式： InterpolatingPolynomialdata,var 构造以data为插值点数据，以var为变量名的插值多项式.,2.3 插值多项式的误差,1.插值余项：,2.误差估计：,定理：,证明：,当 为节点时，两边皆为0，显然成立。 下设 不为节点。作辅助函数,即 问题得证。,这个定理所讲的余项用起来有一定的困难 ，因为实际计算时，只是给出 的一张数据表，并未给出

9、具体的解析式子，故 并不知道，所以 也就无法得到。,3.事后估计：,利用余项公式知,稍加整理得,这种用计算的结果来估计误差的办法，通常称为事后 估计，在计算中是常用的，这种估计误差的方法，将 贯穿我们计算方法这门课程的始终。,4.拉格朗日插值多项式的优缺点：,优点：拉格朗日插值多项式结构对称，使用方便 缺点： a.不具备递推性，当需要增加节点时需要重新计算； b.龙格（Runge）现象:高次拉格朗日插值多项式稳定性差，对于计算过程的舍入误差十分敏感，当插值节点增多时，不能保证非节点处的插值精度得到改善，有时反而误差更大。龙格就给出了一个例子：设被插值函数,取等矩节点 ，作拉格朗日插值多项式 。

10、 当 时，函数 及插值多项式 的图形如下所 示。由图可见，在区间-0.2，0.2上 比较接近 ,但在区间 -1，1两端则误差很大。当 增大时，部分区间上插值多项式截断 误差偏大的现象更重。这种现象称龙格现象。,-1,1,x,0.5,1.0,1.5,y,0,图24 龙格现象,为避免龙格现象和不稳定，通常限定 ，不采用高次插值多项式。,解决方法：分段插值,2.4 分段插值法,一 问题提出： 1. 适当提高插值多项式的次数，可以提高计算的精确度，但次数太高又会产生不好的效果。因为次数越高，计算越繁，积累误差就越大；曲线就会出现过多的扭摆。当局部插值点有微小变动时，就可能引起曲线大幅度的变化，使计算很

11、不稳定。因此，插值多项式次数越高，其所求得的插值越显得不可靠，从而也大大降低了它的工程应用价值。这也就是很少采用拉格朗日插值公式的原因。因此，在工程应用中，多采用分段插值法。即将插值区间分为若干个小段，在每一小段上使用低阶插值如线形插值或抛物插值。,设已给出一系列离散结点：,应用低阶插值的关键是恰当地挑选插值结点。余项公式 说明，选取的结点 离插值点 越近，误差 就越小， 因而插值效果也就越好。因此，应当尽量在插值点的邻 近选取插值结点。,2.分段插值：把整个插值区间分成若干个小区间，在每 个小区间上进行低次插值。, 以三个节点为例，公式为：,2.选取节点：,设,称为分段线性插值,几何意义：用

12、折线代替曲线,图25 分段线性插值,称为分段抛物插值，其节点的选取方法为：,附：Newton型多项式插值,且,同样,承袭性：,为实数,而且有：,这样：,定义：差商,由归纳：,此处用到差商的一个性质： （用归纳法易证） 对称性：,定义关键：找不同的元素相减作分母,Newton插值构造,1、先构造差商表,例子,2点Newton型插值,2、利用差商表的最外一行，构造插值多项式,一些性质,性质2,误差,性质3,差商性质总结,什么是样条:,是 指飞机或轮船等的制造过程中为描绘 出光滑的外形曲线(放样)所用的工具,样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线,在拼接处,不仅函数是连续的,且一阶和二阶导数

13、也是连续的,1946年,Schoenberg将样条引入数学,即所谓的样条函数,一、三次样条插值函数,定义1.,2.5 三次样条插值,-(1),二、三次样条插值多项式,-(2),-(3),-(4),少两个条件,并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制,也要对插值多项式在两端点的状态加以要求,也就是所谓的边界条件:,第一类(一阶)边界条件:,第二类(二阶)边界条件,第三类(周期)边界条件,-(5),-(6),-(7),加上任何一类边界条件(至少两个)后,一般使用第一、二类边界条件,即,-(8),或,常用第二类边界条件,-(9),加以整理后可得,-(10),-(11),由条件,由于以上两式相等,得,-(12),(12)式称为基本方程组,如果问题要求满足第一类(一阶)边界条件:,-(5),-(5),基本方程组(12)化为n-1阶方程组,-(13),即,将(13)式化为矩阵形式,-(14),这是一个三对角方程组,如果问题要求满足第二类(二阶自然)边界条件:,-(6),