等差数列的前n项和 (2).ppt

1、2.3 等差数列的 前n项和（一）,复习引入,1. 等差数列定义： 即anan1 d (n2).,2. 等差数列通项公式：,(1) ana1(n1)d (n1).,(2) anam(nm)d .,(3) anpnq (p、q是常数),复习引入,3. 几种计算公差d的方法:,复习引入,4. 等差中项,成等差数列.,mnpq amanapaq.,(m，n，p，qN),5. 等差数列的性质,复习引入,6. 数列的前n项和：,称为数列an的前n 项和，记作Sn，那么Sn1表示什么？ an，Sn，Sn1三者之间有什么关系？,7.数列的通项公式能反映数列的基本特性，在实际问题中常常需要求数列的前n项和.对

2、于等差数列，为了方便运算，我们希望有一个求和公式，这是一个有待研究的课题.,复习引入,等差数列的 求和公式,高斯（Gauss,17771855），德国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各个领域，被称为历史上最伟大的三位数学家之一，他与阿基米德、牛顿齐名，是数学史上一颗光芒四射的巨星，被誉为“数学王子”.,有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发 现了一个堆放铅笔的V形架， V形架的最下面一层放 一支铅笔，往上每一层 都比它下面一层多放一 支，最上面一层放100支. 老师问：高斯，你知道这 个V形架上共放着多少支铅笔吗？,创设情景,问题就是：,计算1 2 3 99 100,高斯的算法,计算： 1 2

3、 3 99 100,高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组： 第一个数与最后一个数一组； 第二个数与倒数第二个数一组； 第三个数与倒数第三个数一组， 每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.,首尾配对相加法,中间的一组数是什么呢？,问题呈现,泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图）

4、，奢靡之程度，可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗？,探究发现,问题：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？,这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的办法，需要把中间项11看成首、尾两项1和21的等差中项。 通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对” 的算法还得分奇、偶个项的情况求和。 有无简单的方法？,探究发现,问题：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？,借助几何图形之直观性，把这个“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。,探究发现,问题：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？,获得算法：,探究了以上两个实际问题的求和，我们对数列求和有了一定的认识，那么能否将“

5、倒序相加法”推广到任意一个等差数列呢？,这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，很有创意，用数学式子表示就是：,1+ 2+ 3+ 4+21 21+20+19+18+1,对齐相加（其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序） 这实质上是我们数学中一种求和的重要方法,倒序相加法,倒序相加法,若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层 多放一支，最上面 一层有很多支铅笔， 老师说有n支。问： 这个V形架上共放 着多少支铅笔？,创设情景,问题就是：,1 2 3 (n-1) n,若用首尾配对相加法，需要分类讨论.,三角形,平行四边形,n (n-1) (n-2) 2 1,倒序相加法,那么

6、，对一般的等差数列，如何求它的 前n项和呢？,前n项和,分析：这其实是求一个具体的等差数列前n项和.,问题分析,已知等差数列 an 的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn .,如何才能将等式的右边化简？,求和公式,等差数列的前n项和的公式：,思考：（1）公式的文字语言；,（2）公式的特点；,不含d,可知三求一,等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半。,想一想,在等差数列 an 中，如果已知五个元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个, 请问: 能否求出其余两个量 ?,结论：知 三 求 二,公式的记忆,我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.

7、,a1,an,公式的记忆,我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.,a1,(n-1)d,a1,an,将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.,公式应用,根据下列各题中的条件，求相应的等差数列an的Sn ： （1）a1=5，an=95，n=10 （2）a1=100，d=2，n=50,练一练,500,2550,例1、计算 （1） 5+6+7+79+80 （2） 1+3+5+（2n-1） （3）1-2+3-4+5-6+（2n-1）-2n,-n,例题讲解,n2,3230,提示：n=76,法二：,例2 在等差数列an中， 已知 ，求S7.,例题讲解,例题讲解,例3、2000年11月14日

8、教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的通知，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么，从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？,分析：找关键句；,求什么，如何求；,解：由题意，该市在“校校通”工程中每年投入的资金构成等差数列an，且a1=500,d=50,n=10.,故，该市在未来10年内的总投入为：,答,变式练习,一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺瓦片21块

9、，往下每一层多铺1块，斜面上铺了19层，共铺瓦片多少块？,解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦片数构成等差数列an，且a1=21，d=1，n=19.,于是，屋顶斜面共铺瓦片：,答：屋顶斜面共铺瓦片570块.,例4求集合 的元素个数，,并求这些元素的和.,解：,由 得,正整数 共有14个即 中共有14个元素,即：7，14，21，98 是以 为首项，,以 为末项的等差数列.,例题讲解,课堂练习,答案: 27,练习1、,练习2、等差数列10，6，2，2， 的前_项的和为54？,答案: n=9，或n=-3（舍去）,练习3 已知一个共有n项的等差数列前4项之和为26,末四项之和为110,且所有项的和为18

10、7，求n.,课堂练习,练习4 在等差数列an中， 求 .,课堂练习,知识打包 存放备用,an=a1+(n-1)d,对于Sn、an 、a1、n、d 五个量，“知三求二”.,方程(组)思想 (待定系数法),倒序求和法,掌握与应用,课堂小结,1等差数列前n项和的公式； 2等差数列前n项和公式的推导方法倒序相加法； 3.在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.,上页,下页,（两个）,2.3 等差数列的 前n项和（二）,复习回顾,1.等差数列前n项和Sn公式的推导 2.等差数列前n项和Sn公式：,an=a1+(n-1)d,说明：两个等差数列的求和公式及通项公

11、式，一共涉及到5个量，通常已知其中3个，可求另外2个。,-倒序相加法,3.深入研究等差数列的概念与前n项和公式及通项公式的内在联系，可发掘出等差数列的一系列性质，我们将对此作些简单探究.,等差数列前n 项和的性质,1.将等差数列前n项和公式 看作是一个关于n的函数，这个函数 有什么特点？,当d0时，Sn是常数项为零的二次函数,探究,例1. 已知数列an的前n项和为,求这个数列的通项公式. 这个数列 是等差数列吗?如果是，它的首项 与公差分别是什么?,例题讲解,2. 若数列an的前n项和是Snpn2qn， 那么数列an是等差数列吗？,an是等差数列 Snpn2qn.,探究,若Snpn2qnr呢？

12、,3. 若数列an为等差数列，那么数列 是什么数列？,探究,an是等差数列 是等差数列,例题讲解,例2、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？,解：由于S10310，S201220，将它们代入公式,可得,所以,例题讲解,例2、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？,另解：,两式相减得,4.在等差数列an中，Sn，S2n- Sn ，S3n-S2n 构成一个怎样的数列？,S3n3(S2nSn),探究,例,例题讲解,例题讲解,解法三：,设a1+a2+a10=A， a11+a12+a

13、20=B，,a21+a22+a30=C，,则A，B，C成等差数列， 且A=10，A+B=30,解得B=20，,所以C=30，,S30=A+B+C=60.,例题讲解,等差数列an中, S4=1,S8=4,求a9+a10+a11+a12=,5,练习,2.3 等差数列的 前n项和（三）,上页,下页,当d0时，Sn是常数项为零的二次函数,1、对于一个等差数列an的前n项和而言,复习回顾,S3n3(S2nSn),复习回顾,等差数列前n 项和的性质,S1S2nd，,5. 在等差数列an中，设 S1a2a4a2n， S2a1a3a2n1， 则 S1S2 与 分别等于什么？,探究,如果将项数改为奇数项，即2n

14、-1，那么结论会怎样呢？,例4 设等差数列an的公差为2， 且 求 的值.,-82,例题讲解,6.设等差数列an、bn的前n项和 分别为Sn、Tn，则 等于什么？,探究,例5 设等差数列an、bn的前n项 和分别为Sn、Tn，若 ， 求 的值.,例题讲解,例6己知等差数列 5, 4 , 3 , 的前n项和为Sn, 求使得Sn最大的序号n的值.,例题讲解,解:由题意知,等差数列5, 4 , 3 , 的公差 为 ,所以sn= 25+(n-1)( ) = = ( n- )2+,于是，当n取与15/2最接近的整数7或8时，Sn取得最大值。,7、等差数列前n项和的最值问题有两种方法：,探究,(1) 当a

15、n0，d0，前n项和有最大值. 可由an0，且an1 0，求得n的值；,当an0，d0，前n项和有最小值. 可由an0，且an10，求得n的值.,课堂练习,1(1)已知等差数列an的an243n，则前多少项和最大？ (2)已知等差数列bn的通项bn2n-17,则前多少项和最小?,2. 数列an是首项为a10的等差数列,又 S9= S12.问数列的前几项和最小?,3已知等差数列an,满足an=404n , 求前多少项的和最大?最大值是多少?,课堂小结,上页,下页,当d0时，Sn是常数项为零的二次函数,1、对于一个等差数列an的前n项和而言,S3n3(S2nSn),课堂小结,课堂小结,6.设等差数

16、列an、bn的前n项和 分别为Sn、Tn，则,课堂小结,7、等差数列前n项和的最值问题有两种方法：,(1) 当an0，d0，前n项和有最大值. 可由an0，且an1 0，求得n的值；,当an0，d0，前n项和有最小值. 可由an0，且an10，求得n的值.,课堂小结,2.3 等差数列的 前n项和（四）,1.等差数列的定义特征,从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数.,或an1an12 an(n2).,2.等差数列的递推公式,anan1 d (n2).,复习回顾,3.等差数列的通项公式,ana1(n1)dam(nm)dpnq.,4.等差数列的前n项和公式,复习回顾,5.等差数列的主要性质,（1）若数列an、bn都是等差数列， 则数列pan，anan1，anbn， anbn也是等差数列.,（3）an是等差数列 Snpn2qn.,复习回顾,(2)mnpq amanapaq.,S3n3(S2nSn),an是等差数列 是等差数列,（4）,复习回顾,复习回顾,（7）设等差数列an、bn的前n项和 分别为Sn、Tn，则,复习回顾,当an0，d0，前n项和有最小值. 可由an0，且an10，求得n的值.,复习回顾,例1 已知一个等差数列共有偶数