02第二章 平面力系.ppt

1、建筑力学,第二章 平面力系,目的要求：掌握利用平面任意力系平衡方程基本形式求解平衡问题。 教学重点：平衡方程的正确运用。 教学难点：对平衡方程的理解。,引 言,力系分为：平面力系、空间力系,1，平面力系力都作用于同一平面内的力系。所谓平面力系是指各力的作用线都在同一平面内的力系。 其实是人为的把力归在同一平面内，或是设计时就有意识的把力放在同一平面内。 2，平面力系的简化将一些力简化为同一力系的力。 如：钢筋混凝土梁板结构的简化。,3，平面力系的种类： 1）平面汇交力系：在平面力系中，若各力的作用线交于一点，则称为平面汇交力系；,2）平面平行力系：若各力的作用线相互平行，则称为平面平行力系；,

2、3）平面一般力系：若各力的作用线既不完全交于一点也不完全相互平行，则称为平面一般力系。,4）平面力偶系： 平面力系仅由力偶组成。,力偶与力偶矩,由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系，称为力偶。如图所示，记作（F，F）。力偶的两力之间的垂直距离d称为力偶臂，力偶所在的平面称为力偶作用面。,平面力偶系,如司机用双手转动驾驶盘，钳工用丝锥攻螺纹，人们用手指转动钥匙或水龙头等等都是力偶作用的例子。,由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的 力系称为力偶，记作,力偶不能合成为一个力，但又不平衡，故力偶也不能用一个力来平衡。力偶和力一样为一个基本力学量。,力偶的作用只改变物体的转动状态，其

3、效应用力偶矩来度量，其值为力与力偶臂的乘积，即Fd与矩心位置无关。平面力偶对物体的作用效应，由两个因素决定：,因此，平面力偶矩是一个代数量，以M表示，即,M=Fd=2AABC,转向用正负号表示，用力矩规定。力偶矩的单位为Nm，与力矩相同。,（1）力偶矩的大小 （2）力偶在作用面的转向。,同平面内力偶的等效定理,定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效。,这样，力偶中的力的大小和力臂长短都不是力偶的特征量，故常用下图所示的符号表示。,（1）力偶可以在其作用面内任意移转，而不影响它对于刚体的效应。因此，力偶对刚体的作用与力偶在其作用面的位置无关。,由此可得两个推论：,（2）只要

4、保持力偶矩的大小和转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。,=,=,=,F,F,d,F1,F1,d1,F2,F2,d2,M,平面力偶系的合成与平衡 (1) 平面力偶系的合成,M1=F1d1 M2=-F2d2,根据力偶的性质，将它们转移并化为相同臂长d的力偶，如图（a)分别为,M1=F1d1=F3d M2= -F2d2= -F4 d,F=F3-F4 F=F3-F4,将作用在点A、B的力分别合成得,设在刚体同一平面内有两个力偶，所示,同理，可以推得几个力偶的合成。即作用于刚体同平面内的任意个力偶可以合成一个合力偶，合力偶矩等于各个分力偶矩的代数和。可表示为,F

5、，F组成一新力偶即为合力偶 ，合力偶 的矩为,M=Fd=（F3-F4）d=F3d-F4d=M1+M2,（2）平面力偶系的平衡,若力偶系平衡时，其合力偶的矩等于零。即,上式是平面力偶系平衡的必要与充分条件，即平面力偶系的平衡方程。只有一个独立方程，只能求解一个求知数。,一简支梁作用一矩为M 的力偶，不计梁重，求二支座约束力。,梁上除作用有力偶 M 外，还有反力FA，FB 。,解：以梁为研究对象。,因为力偶只能与力偶平衡，所以 FA=FB。,又 M = 0 即 M - FAl = 0 所以 FA =FB = M / l,例题 2-1,横梁AB长l，A端用铰链杆支撑，B端为铰支座。梁上受到一力偶的作

6、用，其力偶矩为M，如图所示。不计梁和支杆的自重，求A和B端的约束力。,例题 2-2,选梁AB为研究对象。梁所受的主动力为一力偶，AD是二力杆，因此A端的约束力必沿AD杆。根据力偶只能与力偶平衡的性质，可以判断A与B 端的约束力FA 和FB 构成一力偶，因此有： FA = FB 。梁AB受力如图。,解得,解,列平衡方程：,如图所示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和BD上分别作用着矩为M1和M2的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知OA=r，DB=2r，q =30，不计杆重，试求M1和M2间的关系。,例题 2-3,写出杆OA和DB的平衡方程： M = 0,因为杆AB为二力杆，故其反力FAB和F

7、BA只能沿A，B的连线方向。,解：,分别取杆OA和DB为研究对象。因为力偶只能与力偶平衡，所以支座O和D的约束力FO 和FD 只能分别平行于FAB 和FBA ，且与其方向相反。,因为,所以求得,例题 2-3,平面汇交力系,若一力系中各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点，称此力系为平面汇交力系。,1.平面汇交力系合成的几何法 设刚体受到平面汇交力系F1、F2、F3、F4作用，其汇交点A，,如图（a）所示。根据力的平行四边形法则，可逐步两两合成各力。由F1、F2FR1，由FR1、F3FR2；由FR2、F4FR。如图（b）,还可用更简便的方法求此合力FR的大小和方向。任取一点a将各力的矢量依次首尾

8、相接，由此组成一个不封闭的力多边形abcde,其封闭边ae为合力FR大小和方向，如下图。,根据矢量相加的交换律，任意变换各分力矢的作图次序，可得形状不同的力多边形，但其合力矢ae仍然不变。合力的作用线仍应通过原汇交点A。 总之，平面汇交力系可简化为一个合力：其大小和方向等于各分力的矢量和（n个之和），其作用线通过汇交点。即,力FR对刚体的作用与原力系对该刚体的作用等效。所以称此力为汇交力系的合力。,如力系中各力作用线均沿同一直线，则此力系为共线力系，它是平面汇交力系的特殊情况。显然力系的合力大小和方向取决于各分力的代数和，即,对于平衡情形下，显然有力系的合力为零，其力多边形自行封闭。故平面汇交

9、力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。即,其几何条件是力多边形自行封闭。,2. 平面汇交力系平衡的几何条件,如图轧路碾子自重P = 20 kN，半径 R = 0.6 m，障碍物高h = 0.08 m碾子中心O处作用一水平拉力F，试求: (1)当水平拉力F = 5 kN时，碾子对地面和障碍物的压力；(2)欲将碾子拉过障碍物，水平拉力至少应为多大；(3)力F 沿什么方向拉动碾子最省力，此时力F为多大。,例题 1-1,1. 选碾子为研究对象，受力分析如图b所示。,各力组成平面汇交力系，根据平衡的几何条件，力P ， F ， FA和FB组成封闭的力多边形。,由已知条件可求得,再由力多边形图c

10、中各矢量的几何关系可得,解得,解：,2. 碾子能越过障碍的力学条件是 FA=0， 得封闭力三角形abc。,3. 拉动碾子的最小力为,由此可得,几何法解题步骤：选研究对象；作出受力图； 作力多边形，选择适当的比例尺； 求出未知数,几何法解题不足： 精度不够，误差大 作图要求精度高； 不能表达各个量之间的函数关系。,下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法： 解析法。,3.1 力的分解与力的投影,3 平面汇交力系合成与平衡的解析法,两个汇交力可以合成一个合力，其结果是唯一的。反之，若将一个力分解成两个力，如果没有足够的附加条件，则其解答是无穷多的（是不定的）。但一般将它分解为两个正交的分力F

11、Rx、FRy，如图所示：则,而,Fx和Fy称为力FR在x和y轴上的投影,i, j 分别是x和y轴方向的单位矢量,由此可知，利用力在轴上的投影，可以表示力沿直角坐标轴分解时分力的大小和方向。 不过应注意的是：分力是矢量，而力的投影是代数量,确定不出力矢作用位置，它们是两个不同的概念。只有对于正交坐标系它们之间才有关系：,其中,如果已知力FR在x和y轴上的投影，则可求得力FR的大小和方向余弦为,上式也称为力的解析表达形式,3.2 平面汇交力系合成的解析法,由图可看出，各分力在x轴和在y轴投影的和分别为：,合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。,合力的大小： 方向：

12、,4. 平面汇交力系的平衡方程,由前节知，平面汇交力系平衡条件，该力系合力FR等于零，即,欲使上式成立，必须同时满足,于是，平面汇交力系平衡的必要和充分的解析条件是：各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。上式称为平面汇交力系的平衡方程。这是两个独立方程，可以求解也只能求解两个求知数。,求如图所示平面共点力系的合力。其中：F1 = 200 N，F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。,解：,根据合力投影定理，得合力在轴 x，y上的投影分别为：,例题 1-1,合力的大小：,合力与轴x，y夹角的方向余弦为：,所以，合力与轴x，y的夹角分别为：,例题 1-1,利用铰车绕过

13、定滑轮B的绳子吊起一货物重P = 20 kN，滑轮由两端铰接的水平刚杆AB和斜刚杆BC支持于点B 。如两杆与滑轮的自重不计并忽略摩擦和滑轮的大小， 试求杆AB和BC所受的力。,例题 1-2,1.取滑轮 B 轴销作为研究对象。,2.画出受力图。,3.列出平衡方程：,联立求解得,解：,约束力FAB为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。即杆AB实际上受拉力。,如图所示，重物P =20 kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮B上，钢丝绳的另一端绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并以铰链A，C与墙连接。如两杆与滑轮的自重不计并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。,例题 1-3,列写平衡方程,

14、解方程得杆AB和BC所受的力:,解：,取滑轮B为研究对象，忽略滑轮的大小，画受力图。,显然，F1=F2=P,梯长AB =l ，重P =100 N，重心假设在中点C，梯子的上端A靠在光滑的端上，下端B放置在与水平面成40角的光滑斜坡上，求梯子在自身重力作用下平衡时，两端的约束力以及梯子和水平面的夹角。,例题 1-4,梯子受三力平衡，由三力汇交定理可知,它们交于D点。,1.求约束力。,解：,列平衡方程：,联立求解，考虑到 = 5 ，得,FA=83.9 N， FB=130.5 N,角可由三力汇交的几何关系求出。,已知C是AB中点，DE是平行四边形ADBE的对角线，所以C也是DE的中点。,2.求角。,

15、由直角三角形BEC和BED，有,1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度 特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。,解题技巧及说明：,3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中 只有一个未知数。,2、一般对于受多个力作用的物体，无论角度不特殊 或特殊，都用解析法。,5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出 负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件， 一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压 力。,4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。,平面任意力系的简化,若所有力的作用线都在同一平面内，且它们既不相交于一点，又不平行，此力系称为平面任意力系，简称平面力系。要研究一个力系的平

16、衡，首先要研究它的简化。力系简化的理论基础是力线平移定理。,1力线平移定理,作用在刚体上点A的力F 可以平行移动（简称平移）到任一点O上，但必须同时附加一个力偶，此附加力偶的矩等于原来力F 对新作用点B的矩。,力线平移定理揭示了力与力偶的关系。 力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=Fd 力线平移定理是力系简化的理论基础。,说明：,设刚体上有一平面任意力系F1，F2，Fn，如图（a）。应用力线平移定理，得一作用在点O的汇交力系F1，F2，Fn以及相应的附加平面力偶系M1，M2，Mn，如图（b）。再将平面汇交力系进一步合成过点O的一个力FR，如图（c）,即,(c),2.平面任意力系向一

17、点简化,平面力偶系进一步合成为对点O的一个力偶MO，即,FR是平面汇交力系的合力，它的大小和方向称为原力系的主矢。MO为平面力偶系的合力偶，但它是原力系的主矩。主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关，故必须指明力系是对于哪一点的主矩。,结论：平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个作用线通过简化中心的与主矢相等的力和一个相对于简化中心的主矩。该主矩等于原力系对简化中心的矩。它们的解析表达式为,大小,方向余弦,主矩,固定端约束及其约束力,在工程实际中，有一种约束称为固定端（或插入端）支座，如电线杆的支座，阳台的支座等约束，使被约束物体既不能移动也不能转动。其力学模型如下图所示。,约束给

18、约束物体的约束力实际上是一个分布力，在平面问题中，它是一个平面任意力系，如图（a）所示。,无论它们是如何分布，根据力系简化理论，可将它们向A点简化得一力FA及一力MA，如图（b）所示，也可表示成两个分力FAx，FAy的形式，如图（c），共有三个未知数。,简化结果可有四种情况：（1）FR= 0，MO 0；（2）FR 0， MO= 0；（3）FR 0， MO 0；（4）FR=0，MO=0。对以上进一步分析有以下三种情形。,（1）简化为一个力偶,当 FR= 0，MO 0,则原力系合成为合力偶，其矩为,此时主矩与简化中心选择无关，主矩变为原力系合力偶，即,3 平面任意力系的简化结果 合力矩定理, 简化

19、为一个合力,当 FR 0， MO = 0 则原力系合成为合力，其作用线恰好通过选定的简化中心O，即,FR = FR,当 FR 0，MO 0,则原力系合成为合力，合力矢等于主矢，即,FR = FR,但合力作用线不通过简化中心O，而到点O的距离d为,至于作用线在点O 哪一侧，需根据主矢方向和主矩转向确定。如下图所示,由此很容易证得平面任意力系的合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。即, 平衡,当 FR= 0，MO = 0,则原力系平衡。,例题3-1,在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个力：F1=1 kN，F2=2 kN，F3=F4=3 k

20、N（如图），试求以上四个力构成的力系对O点的简化结果，以及该力系的最后合成结果。,求向O点简化结果,解：,建立如图坐标系Oxy。,所以，主矢的大小,1.求主矢 。,例题3-1,2. 求主矩MO,由于主矢和主矩都不为零，所以最后合成结果是一个合力FR。如右图所示。,主矢的方向：,合力FR到O点的距离,例题3-1,水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。载荷的最大集度为q， 梁长l。试求合力作用线的位置。,例题3-2,在梁上距A端为x的微段dx上，作用力的大小为qdx，其中q为该处的载荷集度 ，由相似三角形关系可知,因此分布载荷的合力大小,解：,例题3-2,设合力F 的作用线距A端的距离为h，

21、根据合力矩定理，有,将q 和 F 的值代入上式，得,结论 1、合力的大小等于线荷载所组成几何图形的面积。 2、合力的方向与线荷载的方向相同。 3、合力的作用线通过荷载图的形心。,1、均布荷载,2、三角形荷载 （q为线性分布）,3、梯形荷载,可以看作一个三角形荷载和一个均布荷载的叠加,分布荷载的简化,1. 平面任意力系平衡的平衡条件和平衡方程,对于平面任意力系平衡的情形，显然有,于是，平面任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零。,它的解析式为,于是，平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对任意一点的矩的代数和也等

22、于零。上式称为平面任意力系的平衡方程。有三个独立方程，可以求解三个未知数。,2-4 平面任意力系的平衡条件与平衡方程,支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C连接，并各以铰链A，D连接于铅直墙上。如图所示。已知杆AC=CB；杆DC与水平线成45o角；载荷F=10 kN，作用于B处。设梁和杆的重量忽略不计，求铰链A的约束力和杆DC所受的力。,例题4-1,取AB 杆为研究对象，受力分析如图。,解：,例题4-1,解平衡方程可得,若将力FAx和FAy合成，得,外伸梁的尺寸及载荷如图所示，F1=2 kN，F2=1.5 kN，M =1.2 kNm，l1=1.5 m，l2=2.5 m，试求铰支座A及支座B的约束力。,例题4-2,取梁为研究对象，受力分析如图。由平衡方程,解方程可得,解：,例题4-2,如图所示为一悬臂梁，A为固定端，设梁上受强度为q的均布载荷作用，在自由端B受一集中力F和一力偶M作用，梁的跨度为l，求固定端的约束力。,例题4-3,由平衡方程,解方程得,取梁为研究对象，受力分析如图,解：,例题4-3,2. 平面任意力系平衡方程的其它形式,前面导出的是平面任意力系平衡方程的基本形式，它是两个投影式和一个力矩式.共有三个独立的方程，可以求出三个未知数。,应该指出，投影轴和矩心都可以任意选取的。两坐标轴不一定是正交，只要不相平行即可（原因何在？请读者自行考虑）。矩心不一定是坐标轴原点。