数值分析1-2.ppt

1、2 数值计算的误差,一、误差来源的分类,二、误差分析的重要性,三、绝对误差和绝对误差限 四、相对误差和相对误差限 五、有效数字 六、数值运算的误差估计,一、误差来源的类型,1.模型误差,从实际问题中抽象出数学模型 模型误差 /* Modeling Error */,2.观测误差,通过测量得到模型中参数的值 观测误差 /* Measurement Error */,注：通常根据测量工具的精度，可以知道这类误差的上限值。,当数学模型得不到精确解时，要用数值计算方法求它的近似解，由此产生的误差称为截断误差或方法误差,3. 截断误差,求近似解 方法误差 (截断误差) /* Truncation Err

2、or */,例如：在微积分中sinx可展开成,但在计算机中计算时，常用前几项来代替，即抛弃了无穷级数的后段，这样就产生了截断误差。,当|x|很小时，常用x代替sinx，其截断误差大约为 x 3/6。,由于计算机字长有限，原始数据的输入及浮点数运算过程中都有可能产生误差，这样产生的误差称为舍入误差,4.舍入误差,机器字长有限 舍入误差 /* Roundoff Error */,在数值分析课程中，主要研究,截断误差 舍入误差,二、误差分析的重要性,考察如下两个方程组,试思考这两个方程组的解的关系？,容易看出系数矩阵完全相同，而常数项矩阵有微小差别，右端系数1.9999变成2.0001，其误差为,2

3、.0001-1.9999 =0.0002 =0.02%,但对应的解为,由此看出系数矩阵完全相同，而常数项矩阵有微小差别的方程组，其解竟然相差得很大！,解的最大误差= 2 = 200%,据说，美军 1910 年的一次部队的命令传递是这样的: 营长对值班军官: 明晚大约 8点钟左右，哈雷彗星将可能在这个地区看到，这种彗星每隔 76年才能看见一次。命令所有士兵着野战服在操场上集合，我将向他们解释这一罕见的现象。如果下雨的话，就在礼堂集合，我为他们放一部有关彗星的影片。 值班军官对连长: 根据营长的命令，明晚8点哈雷彗星将在操场上空出现。如果下雨的话，就让士兵穿着野战服列队前往礼堂，这一罕见的现象将在

4、那里出现。,连长对排长: 根据营长的命令，明晚8点，非凡的哈雷彗星将身穿野战服在礼堂中出现。如果操场上下雨，营长将下达另一个命令，这种命令每隔76年才会出现一次。 排长对班长: 明晚8点，营长将带着哈雷彗星在礼堂中出现，这是每隔 76年才有的事。如果下雨的话，营长将命令彗星穿上野战服到操场上去。 班长对士兵: 在明晚8点下雨的时候，著名的76岁哈雷将军将在营长的陪同下身着野战服，开着他那“彗星”牌汽车，经过操场前往礼堂。,三、绝对误差和绝对误差限,定义 设某一量的准确值为x，近似值为x*，则x*与x之差叫做近似值x*的绝对误差(简称误差)，记为,？判断题：绝对误差是误差的绝对值,绝对误差的性质

5、,(1)绝对误差e(x*) 可正可负 (2) |e(x*) |的大小标志着x*的精确度 (3) 绝对误差e(x*) 未知,定义 若指定一个适当小的正数 ，使,有时用 表示近似值x*的精度或准确值的所在范围。,则 称为近似值 x* 的绝对误差限。,绝对误差限的性质,(1)在实际问题中，绝对误差一般是有量纲的，绝对误差限也是有量纲的。 例如，测得某物体的长度为5m，其误差限为0.01m,(2)绝对误差限是正的，有无穷多个,若已知 是绝对误差限，由于,则比 大的任意正数均是绝对误差限。,思考：误差限越大越好吗？,思考题：设有两个温度计，其一测量1000时的绝对误差限为5，而另一个测量100时的绝对误

6、差限为1。 问：哪一个温度计更精确？,四、相对误差和相对误差限,答：虽然后者绝对误差限的数值较小，但第一种温度计更为精确。,决定一个量的近似值的精确度除了要看绝对误差的大小外，还要考虑到该量本身的大小。,定义 绝对误差与准确值之比,称为x*的相对误差,(2)由于准确值x未知，故实际问题中，当| |较小时，常取,注,(1)相对误差是个无量纲量。值小者精度高。,当| |较小时，可用下式计算,定义 若指定一个适当小的正数 使,则称 为近似值 x*的相对误差限,当x有很多位数字时，常按照“四舍五入”原则取前几位数字作为x的近似值,例：设 x = = 3.1415926,取x1*= 3作为的近似值，则,

7、五、有效数字,取 x2* = 3.14 作为的近似值，则,取 x3* = 3.1416作为的近似值，则,它们的误差都不超过末位的半个单位。,若近似值x*的绝对误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字一共有n位，则称近似值x*有n位有效数字，或说x*精确到该位,定义：有效数字,例：x1*= 3， x2*= 3.14， x3*= 3.1416作为的近似值，则有效数字分别有多少位？ 答：1，3，5,例：设x = 4.26972，x1*= 4.27， x2* = 4.270分别是按四舍五入得到的近似值，问它们有何区别？ （请同学们做！）,解：x1*= 4.27精确到0.01，有3位有效数字

8、；而x2*=4.270精确到0.001，有4位有效数字，可见它们的近似程度完全不同。,近似值后面的零不能随便省去！,有效数字的性质 (1)有效数字越多，则绝对误差越小 (2)有效数字越多，则相对误差越小,有效数字的位数可刻画近似数的精确度！,六、数值运算的误差估计,1. 利用微分估计误差,(1) 一元函数的误差估计 问题：设y=f(x)，x的近似值为x*，则y的近似值 y*的误差如何计算？,解：,故相应的误差限计算如下,因为,(2)二元函数的误差估计 问题：设y=f(x1, x2)， x1, x2的近似值为x1*, x2* ，则y的误差如何计算？,解,由于,故绝对误差限为,与前面类似的推导可得多元函数的误差估计,2. 加减乘除运算的估计误差 （注意：下列公式均省略了“*”）,(1)加法运算：,即,而,则相对误差限,加法的所有误差估计公式：,和的误差(限)等于误差(限)之和,(2)减法运算：,即,而,减法的所有误差估计公式：,和(差)的误差限等于误差限之和,和(差)的误差等于误差之和(差),注意：,(3)乘法运算,故误差限计算公式为,因为,积的相对误差(限)等于相对误差(限)之和,故相对误差限计算公式为,乘法的所有误差估计公式：,(4)除法的所有误差估计公式：,注意：,积(商)的相对误差限等于两个自变量相对误差限的和。,例： 设有三个