7重积分应用.ppt

1、,7 重积分的应用,2,1 求半径为R的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积。,4,5,6,9,10 曲面面积,8,3,主 目 录（1 17）,7,13,14,11,15 求位于圆r =2sin 和圆r =4sin 之间的均匀薄片的重心。,17,12,16,.,化为球系下的方程,r=2R cos,.,., =,1.求半径为R的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积,R,M,r,Dxy: x = 0 , y = 0 , 2x + y = 4,。,。,2,直角坐标系,。,4,Dxy,2.,上顶：,下底：,先选系：,2.,4,2,.,2.,4,2,2x+y=4,.,2.,4,4,2,2

2、x+y=4,.,2.,y =0,4,4,2,2x+y=4,.,D,V =,.,.,.,Dxy:,a,柱面坐标系,r =a cos,。,所围立体是曲顶柱体,Dxy,先选系：,3.,上顶：,下底：,Dxy:,。,。,a,r =a cos,。,所围立体是曲顶柱体,D,用瓦里斯公式,怎么计算？,.,3.,柱面坐标系,先选系：,由对称性，考虑上半部分,.,3.,a,由对称性，考虑上半部分,.,3.,a,。,V,。,。,。,维望尼曲线,。,。,由对称性，考虑上半部分,D,1,.,3.,a,a,4.,a,a,a,a,D,.,.,.,.,.,.,.,4.,5.,a,.,5.,a,故立体关于x轴对称,.,.,.

3、,.,D,.,5.,a,因Dxy关于x轴对称,且 z(x,y)= z(x,y),2a,2a,a,.,L,联立,柱面坐标,用哪种坐标？,6.,6.,2a,a,.,L,联立,D,.,.,.,柱面坐标。,用哪种坐标？,.,立体关于xoy平面对称.,解,7.,直角坐标系.,上顶：,下底：,选系：,Dxy:,.,z = 0,.,故求第一卦限部分乘2.,1,1,Dxy,y =1,.,.,1,立体关于xoy平面对称.,解,作上半块立体图 1 .,.,7.,1,解,7.,.,立体关于xoy平面对称.,作上半块立体图 1 .,1,y =1,1,.,.,.,.,解,7.,.,立体关于xoy平面对称.,作上半块立体

4、图 1 .,8.,.,8.,。,D,D,。,。,V,用广义极坐标,。,D: r 1, z = 0,。,?,.,8.,。,a,b,9.,b,a,问题：,2 用哪种坐标系？,1 是不是曲顶柱体？,3 交线 L的方程？,交线 L,.,.,.,柱系.,.,V =,上顶：,下底：,4 Dxy ?,Dxy,.,.,.,(球系？,需分块儿!),9.,引理,A,.,一般情况，将A分割成 若干个上述类型的小矩形， 对每一个用引理， 然后迭加 再取极限即可。,当A是矩形,l,证,且一边与l平行,则 也是矩形, 且,b,引理成立.,.,a,注：这里 即 两平面法矢量的夹角.,证毕.,10. 曲面的面积,.,10.

5、曲面的面积,z = f (x,y),D,(xi , yi),Pi,.,10. 曲面的面积,z = f (x,y),D,.,(xi , yi),i, Ai,（由引理）,Pi,.,.,ni,11.,1,1,1,.,11.,1,1,D,S,.,.,.,.,.,.,.,11.,a,a,设圆柱面为,12.,考虑第一卦限,12.,D,a,a,.,.,a,a,D,.,.,.,.,.,设圆柱面为,.,13.,a,13.,D,S =,共同的 D :,.,.,.,2,x,z,y,14.,o,14.,2,问题： 曲面向哪个坐标面投影？,.,o,只能向xoz平面投影,2,得 z = 2,.,Dxz,.,.,14.,o,其中，,2,Dxz,.,.,.,.,得 z = 2,.,14.,o,.,其中，,.,1,2,15. 求位于圆 r = 2sin 和圆 r = 4sin 之间的均匀薄片的重心.,球面坐标,a,.,.,