高中数学 1.3.1等比数列的概念及通项公式2学案 北师大版必修

1、3等 比 数 列第1课时等比数列的概念及通项公式思路方法技巧命题方向等比数列的判断例1已知数列an的前n项和Sn=2an+1,求证：an是等比数列，并求出通项公式.分析要证数列是等比数列，关键是看an与an-1之比是否为一个常数，由题设还须利用an=Sn-Sn-1 (n2),求得an.证明Sn=2an+1,Sn+1=2an+1+1.Sn+1-Sn=an+1=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an.an+1=2an.又S1=a1=2a1+1,a1=-10.由式可知，an0,由=2知an是等比数列，an=-2n-1.说明(1)本题证明，关键是用等比数列的定义，其中说明an0是非常重

2、要的.证明中，也可以写出Sn-1=2an-1+1,从而得到an=2an-1,只能得到n2时，an是等比数列，得到n2时，an=-2n-1,再将n=1代入，验证a1=-1也满足通项公式的要求.（2）判断一个数列是否是等比数列的常用方法是：定义法=q(q为常数且不为零) an为等比数列.等比中项法an+12=anan+2 (nN+且an0) an为等比数列.通项公式法an=a1qn-1 (a10且q0) an为等比数列.变式应用1判断下列数列是否为等比数列.(1)1,3,32,3n-1,;(2)-1,1,2,4,8,;(3)a1,a2,a3,an,.解析（1）此数列为等比数列，且公比为3.(2)此

3、数列不是等比数列.(3)当a=0时，数列为0,0,0,是常数列，不是等比数列；当a0时，数列为a1,a2,a3,a4,an,显然此数列为等比数列且公比为a.命题方向等比数列的通项公式的应用例2在等比数列an中，已知a5-a1=15,a4-a2=6,求an.分析本题可以列关于a1,q的方程组入手，解出a1与q,然后再求an.解析设等比数列an的首项为a1,公比为q, a5-a1=a1q4-a1=15因为a4-a2=a1q3-a1q=6由得q=或q=2.当q=时，a1=-16.当q=2时，a1=1,an=-16（）n-1或an=2n-1.说明首项和公比是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他

4、量便可迎刃而解.此类问题求解的通法是根据条件，建立关于首项和公比的方程组，求出首项和公比.变式应用2已知等比数列an中，a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n. a1q+a1q4=18 a1=32解析解法一：由题意得 ，解得 .a1q2+a1q5=9 q= an=a1qn-1=32（）n-1=1,26-n=20,n=6.解法二：a3+a6=q(a2+a5),q=,又a1q+a1q4=18,a1=32,an=a1qn-1=32（）n-1=1,解得n=6.命题方向等比中项的应用例3等比数列an的前三项的和为168，a2-a5=42,求a5,a7的等比中项.分析设出首项和公比由题意列方程组

5、解方程组求q求a1求等比中项.解析设该等比数列的首项为a1,公比为q,因为a2-a5=42,所以q1,由已知，得a1+a1q+a1q2=168 a1（1+q+q2）=168 ，所以 ，a1q-a1q4=42 a1q(1-q3)=42因为1-q3=(1-q)(1+q+q2),所以由除以，得q(1-q)= .所以q=.所以a1=96.若G是a5,a7的等比中项，则应有G2a5a7=a1q4a1q6=a12q10=962（）10=9.所以a5,a7的等比中项是3.说明由等比中项的定义可知：=G2=abG=.这表明：只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数.异号的两数没有

6、等比中项.反之，若G2ab(ab0),则=,即a,G,b成等比数列.所以a,G,b成等比数列G2=ab(ab0).变式应用3若a,2a+2,3a+3成等比数列，求实数a的值.解析因为a,2a+2,3a+3成等比数列，所以（2a+2）2=a(3a+3).解得a=-1或a=-4.因为当a=-1时，2a2，3a+3均为0，故应舍去.故a的值为4.探索延拓创新命题方向等比数列的实际应用例4据中国青年报2004年11月9日报导，卫生部艾滋病防治专家徐天民指出：前我国艾滋病的流行趋势处于世界第14位，在亚洲第2位，而且艾滋病毒感染者每年以40%的速度在递增，我国已经处于艾滋病暴发流行的前沿，我国政府正在采

7、取有效措施，防止艾滋病蔓延，公元2004年我国艾滋病感染者至少有80万人，若不采取任何防治措施，则至少到公元年后，我国艾滋病毒感染者将超过1000万人.(已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，lg7=0.8451)答案 2012解析 设x年后我国艾滋病毒感染者人数将达到1000万人，则80(1+40%)x=1000,即（）x=，lg（）x=lg,x=7.51(年).故8年后，即公元2012年后，我国艾滋病毒感染者人数将超过1000万人.名师辨误做答例5在等比数列an中，a5、a9是方程7x2-18x+7=0的两个根，试求a7.误解a5、a9是方程7x2-18x+7=0的两个根， a5+a9= a5a9=1又a7是a5、a9的等比中项，a72=a5a9=1，即a7=1.辨析上述解法忽视了对a7的符号的讨论，由于a5、a9均为正数且公比为q=，所以不论q取正还是取