18.2.3（第二课时） 正方形的判定.ppt

1、第十八章 平行四边形,18.2.3 正方形,第2课时 正方形的判定,问题：什么是正方形？正方形有哪些性质？,A,B,C,D,正方形性质： 四个角都是直角; 四条边都相等; 对角线相等且互相垂直平分.,O,正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.,活动1：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，得到一个四边形.,问题1：折叠后得到的特殊四边形是什么四边形？为什么？,正方形,活动2：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.,问题2：经过变化后得到特殊四边形是什么四边形？,正方形,正方形判定的两条途径：,正方形,正方形,+,+,先判定菱形,先判定矩形,矩形条

2、件,菱形条件,(1),(2),一个直角,一组邻边相等,对角线相等,对角线垂直,在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）,AAC=BD，ABCD，AB=CD BADBC，A=C CAO=BO=CO=DO，ACBD DAO=CO，BO=DO，AB=BC,C,A,B,C,D,O,例1 在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在各边上，且AE=BF=CM=DN四边形EFMN是正方形吗?为什么?,证明：四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=DA，A=B=C=D=90，AE=BF=CM=DN，AN=BE=CF=DM.,分析：由已知可证AENBFE CMFDNM，得四边形

3、EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.,在AEN、BFE、CMF、DNM中， AE=BF=CM=DN A=B=C=D AN=BE=CF=DMAENBFECMFDNMEN=FE=MF=NM，ANE=BEF四边形EFMN是菱形， NEF=180-（AEN+BEF） =180-（AEN+ANE）=180-90=90.四边形EFMN是正方形 .,证明： DEAC，DFAB DEC= DFC=90. 又 C=90 四边形ADFC是矩形. 过点D作DGAB，垂足为G AD是CAB的平分线 DEAC，DGAB DE=DG 同理：DG=DF ED=DF 四边形ADFC是正方形.,例2 如图，在直角三角形中，

4、C=90，A、B的平分线交于点D.DEAC，DFAB.求证:四边形CEDF为正方形.,A,B,C,D,E,F,G,例3 如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EGFH.求证：四边形EFGH是正方形. 证明：四边形ABCD为正方形, OB=OC,ABO=BCO =45, BOC=90=COH+BOH. EGFH, BOE+BOH=90, COH=BOE, CHO BEO,OE=OH. 同理可证：OE=OF=OG,OE=OF=OG=OH. 又EGFH, 四边形EFGH为菱形. EO+GO=FO+HO ,即EG=HF, 四边形EFGH为正方形.,顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是

5、平行四边形.顺次连接矩形、正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？,矩形,正方形,任意四边形,平行四边形,菱形,正方形,E,F,G,H,E,F,G,H,E,F,G,H,1.下列命题正确的是（ ） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 2四个内角都相等的四边形一定是（ ） A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形,D,C,3.以ABC的边AB、AC为边的等边三角形ABD和等边三角形 ACE，四边形ADFE是平行四边形. （1）当BAC等于 时，四边形ADFE是矩形； （2）当BAC等于 时

6、，平行四边形ADFE不存在； （3）当ABC分别满足什么条件时， ADFE是菱形、正方形？,解:（3） AB=AC时，平行四边形ADFE时菱形； AB=AC且BAC=150时，平行四边形ADFE是正方形.,150,60,4.如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分ABC , P是BD上一点,过点P作PMAD , PNCD ,垂足分别为M、N. (1) 求证：ADB=CDB; (2) 若ADC=90,求证：四边形MPND是正方形.,证明：（1）AB = BC,BD平分ABC. 1=2. ABDCBD (AAS). ADB=CDB.,1,2,（2）ADC=90; 又PMAD,PNCD; PMD=PND=90. 四边形NPMD是矩形. ADB=CDB; ADB=CDB=45. MPD=NPD=45. DM=PM,DN=PN. 四边形NPMD是矩形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.,课堂小结,5种判定方法,三个角是