第八章 排队论.ppt

1、第七章连续时间马尔科夫过程,第七章 连续时间马尔科夫过程,7.1、Ito过程,7.2、增量过程,7.3、泊松过程,7.4、排队论与生灭过程,7.4、排队论与生灭过程,排队论（Queuing theory），又称随机服务系统，是通过研究各种服务系统在排队等待现象中的概率特性，解决服务系统最优设计与最优控制的一种理论。,4,排队论起源于20世纪初的电话通话。9091920年丹麦数学家、电气工程师爱尔朗（A.K.Erlang）用概率论方法研究电话通话问题， 20世纪30年代，费勒(W.Feller)引进了生灭过程 20世纪50年代，D.G.Kendall用嵌入马尔柯夫链方法研究排队论,7.4、排队论

2、与生灭过程,7.4、排队论与生灭过程,排队系统的例子,(1)单服务台单队,图7.4.1 单服务台单队系统,7.4、排队论与生灭过程,根据服务台的数量及排队方式，排队系统可以分为四类,(2)多服务台单队,顾客到达,服务台,顾客离去,服务台,服务台,图7.4.2 多服务台单队系统,7.4、排队论与生灭过程,根据服务台的数量及排队方式，排队系统可以分为四类,(3)多队多服务台,图7.4.3 多服务台多队系统,顾客到达,服务台,顾客离去,服务台,服务台,7.4、排队论与生灭过程,根据服务台的数量及排队方式，排队系统可以分为四类,(4)多服务台串联服务,图7.4.4 多服务台串联系统,顾客到达,顾客离去

3、,7.4、排队论与生灭过程,根据服务台的数量及排队方式，排队系统可以分为四类,排队过程的组成部分,实际中的排队系统各有不同，但概括起来都由三个基本部分组成： 输入过程、 排队及排队规则、 服务机制,7.4、排队论与生灭过程,排队过程的组成部分,1、输入过程,（1）顾客总体数，又称顾客源、输入源。,顾客源可以是有限的，也可以是无限的。如到售票处购票的顾客总数可以认为是无限的，而某个工厂因故障待修的机床则是有限的,7.4、排队论与生灭过程,排队过程的组成部分,1、输入过程,（1）顾客总体数，又称顾客源、输入源。,（2）顾客到达的形式,单个到达，还是成批到达。如大学生到图书馆借书是单个到达，而购买的

4、材料入库则可以看成成批到达。,7.4、排队论与生灭过程,排队过程的组成部分,1、输入过程,顾客总体数，又称顾客源、输入源,顾客到达的形式,顾客流的概率分布，即单位时间内到达的顾客数，也可用顾客相继到达的时间间隔描述,这是刻画输入过程的最重要的内容。排队论中常用的分布：,定长分布(D)，这种分布顾客相继到达的时间间隔是确定的，如产品通过传送带进入包装箱就是定长分布的例子。,泊松流(M), 在一定时间区间内，恰好到达k个顾客的概率仅与区间长度有关，而与区间起始时刻无关,7.4、排队论与生灭过程,排队过程的组成部分,2、排队规则,排队系统,7.4、排队论与生灭过程,排队分为有限排队和无限排队两类。前

5、者是指系统的空间是有限的，当系统被占满时，后面再来的顾客将不能进入系统；后者是指系统中的顾客数可以是无限的，队列可以排到无限长，顾客到达后均可进入系统排队或接受服务。具体又分为：,等待制：即无限排队,损失制：这种系统是指排队空间为零的系统，实际上是不允许排队。当顾客到大系统时，如果所有服务台均被占用，则自动离去，并不再回来，这部分顾客就被损失掉了。,混合制：该系统是等待制和损失制系统的结合，一般是指允许排队，但又不允许队列无限长下去,排队过程的组成部分,2、排队规则,排队规则,7.4、排队论与生灭过程,先来先服务(FCFS),后来先服务(LCFS) ：在许多库存系统中会出现这种情形，如钢板存入

6、仓库后，需要时总是从最上面的取出；又如在情报系统中，后来到达的信息往往更加重要，应首先加以分析和利用。,具有优先权的服务(PS)：如病危的患者应优先治疗，加急的电报电话应优先处理等,随机服务(SIRO),排队过程的组成部分,3、服务机制,服务员的数量及构成形式,7.4、排队论与生灭过程,从数量上说，服务台有单台和多台之分。从构成形式上看，有单队单服务台式、单队多服务台并联式、多队多服务台并联式、单队多服务台串联式等。,排队过程的组成部分,3、服务机制,服务员的数量及构成形式,7.4、排队论与生灭过程,服务方式,指在某一时刻接受服务的顾客数，有单个服务和成批服务两种。,排队过程的组成部分,3、服

7、务机制,服务员的数量及构成形式,7.4、排队论与生灭过程,服务方式,服务时间的分布,定长分布(D) 指每个顾客接受服务的时间是一个确定的常数。,排队过程的组成部分,3、服务机制,服务员的数量及构成形式,7.4、排队论与生灭过程,服务方式,服务时间的分布,定长分布(D),负指数分布(M),负指数概率分布能较好地描述一些排队系统里服务时间的概率分布情况。在负指数分布里，服务时间小于或等于时间长度t的概率： F（t）=P（服务时间t）=1-e-t 这里的为单位时间里被服务完的平均顾客数。,排队过程的组成部分,3、服务机制,服务员的数量及构成形式,7.4、排队论与生灭过程,服务方式,服务时间的分布,定

8、长分布(D),负指数分布(M),K阶爱尔朗分布,K阶爱尔朗分布 设X1，X2，Xk是k个互相独立的，具有相同参数的负指数分布随机变量，则随机变量：X=X1+X2+X3+Xk 服从k阶爱尔朗分布，X的密度函数为： 随机变量X的均值和方差分别为： E(X)=1/，Var(X)=1/k2 如果顾客连续接受串联的k个服务台的服务，各服务台的服务时间相互独立，且均服从参数为的负指数分布，则顾客接受k个服务台总共所需的时间就服从k阶爱尔朗分布。,7.4、排队论与生灭过程,当一个排队服务系统开始运转时，系统状态很大程度上取决于系统的初始状态和运转经历的时间，但过了一段时间后，系统的状态将独立于初始状态及经历

9、的时间，这时称系统处于平稳状态。由于对系统的瞬时状态研究分析起来很困难，所以排队论中主要研究系统处于平稳状态的工作情况。,排队过程的平稳状态,7.4、排队论与生灭过程,X/Y/Z/A/B/C 这里的X记顾客相继到达的时间间隔的分布，M表示服从泊松分布或负指数分布，D表示定长分布，Ek表示爱尔朗分布，G表示一般相互独立任意分布； Y记服务时间的分布，类型同X； Z记服务台数目，取正整数； A记系统的容量，表示系统中顾客容量限额，若系统中有k个等待位子(0k)，当k=0时，说明系统不允许等待，即为损失制。 k=为等待制系统。k为有限整数时，则为混合制 ； B记顾客源的数目，可取正整数或 ，即有限与

10、无限； C记排队服务规则，FCFS先到先服务，LCFS后到先服务，SIRO随机服务，PR有优先权的服务。,排队过程的符号表示,7.4、排队论与生灭过程,研究排队系统的目的是通过了解系统运行的状况，对系统进行调整和控制，使系统处于最优运行状态。因此，首先需要弄清系统的运行状况。描述一个排队系统运行状况的主要数量指标有： Pn：系统中恰好有n个顾客的概率，这n个顾客包括排队和正在被服务的顾客；在系统里没有顾客的概率，即所有服务设施空闲的概率，记为P0。 Pw顾客到达系统时，得不到及时服务，必须排队等待服务的概率。,7.4、排队论与生灭过程,排队过程的主要数量指标,Ls在系统里的平均顾客数，包括排队

11、的顾客数和正在被服务的顾客数。 Lq排队的平均长度，即排队的平均顾客数。 Wq平均一位顾客花在排队上的时间。 Ws平均一位顾客在系统里的平均逗留时间，它包括排队时间和被服务的时间。 Little公式，L=W。为单位时间内到达的顾客数。,7.4、排队论与生灭过程,排队过程的主要数量指标,生灭过程 生灭过程是一类非常简单具有广泛应用的一类随机过程，很多排队 模型中都假设其状态过程为生灭过程；这样的排队子系统如：M/M/C和 M/M/C/R，我们也可称之为生灭过程的排队系统。在这样的排队系统中， 一个新顾客的到达看作“生”，一个顾客服务完之后离开系统看作是 “死”，设N(t)的任意时刻t排队系统的状

12、态（即排队子系统中的总顾客 数），则对M/M/C/K系统N(t)具有有限个状态0，1，,k,对M/M/C来说 N(t)具有可列个状态0，1，2。,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,若排队系统具有下列性质: (1) 顾客到达为泊松流，时间间隔服从参 数为n的负指数分布; (2) 顾客服务时间服从参数为 n的负指 数分布; 则排队系统的随机过程N(t),t=0具有马 尔可夫性质, 为一个生灭过程.,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,设某系统具有状态集S=0,1,2,或S=0,1,2,k, N(t)表示系统在时刻 t (t=0) 的状态。若在N(t)=n的条件下,随机过程N(

13、t),t=0满足以下条件: (1) N(t+t)转移到“n+1”的概率为Pn,n+1(t )=nt ; (2) N(t+t)转移到“n-1”的概率为Pn,n-1(t )= nt ); (3) N(t+t)转移到其他状态“S-n+1,n-1”的概 率为o(t )(高阶无穷小) ; 则称随机过程N(t),t=0为生灭过程。,Definition 7.2(Birth-deathprocess),7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,(1) 在无穷小t内,系统或生长1个;或灭亡1个;或既 不生长又不灭亡的概率: 1- n(t ) -n(t ); (2)系统生长一个的概率n(t )与t有关，而与

14、t无 关; 与系统当前状态n有关，而与以前的状态无关； (3)系统灭亡一个的概率n(t )与t有关，而与t无 关; 与系统当前状态n有关，而与以前的状态无关；,马尔可夫性,生灭过程状态变化的性质,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,生灭过程的状态平衡方程,状态,输入率=输出率,0,1,2,n-1,n,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,生灭过程的跳跃强度矩阵,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,生灭过程的状态转移图,无限状态的： m个状态的：,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,排队系统状态转移图,生灭过程的稳态概率,一般来说，得到N(t)的分布Pn(t

15、)=PN(t)=n,n=0,1,2,是比较困难的，因此通常是求当系统运行一段时间达到平稳状态后的状态分布，记为Pn。 当系统运行长时间达到平稳状态后，对于任一个状态n，单位时间内进入该状态的平均次数和单位时间离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统的统计平衡下的“流入=流出”原理。,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,2. 生灭过程稳态方程,输入（出）率=某一稳态概率平均转换率,2. 生灭过程稳态方程,方程为：,由此可求得生灭过程的平稳状态分布：,由于,即有,即有,即有,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,即当,时，此生灭过程存在平稳状态分布：,7.4、排队论与生灭过程-（

16、生灭过程排队论）,基于生灭过程的排队系统的六个模型,3. M/M/1/m/FCFS （单服务台无限队列）,到达过程/服务时间/系统容量/顾客源/排队规则,M/M/1/FCFS（单服务台无限队列）,2. M/M/1/N/FCFS （单服务台无限队列）,5. M/M/s/N/FCFS,4. M/M/s/FCFS,6. M/M/s/m/FCFS,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,设单位时间到达系统的顾客数为 ，单位时间被服务完的顾客数为。由于是单服务台，且顾客源无限，因此，在各种状态的情况下，系统的“出生率”为，系统的“死亡率”为。系统在稳态情况下的状态转移如图9-6所示,图9-6,7.

17、4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,根据以上状态转移图，可以得出如下平衡方程,系统状态概率Pn(t)的计算,状态,输入率=输出率,0,1,2,n-1,n,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,根据平衡方程，可递推得到各状态概率为：,系统状态概率Pn(t)的计算,状态,概率,0,1,2,n-1,n,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,上面两式做差，得,表示平均到达率与平均服务率之比，称为服务强度,系统状态概率Pn(t)的计算,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,根据平衡方程，可递推得到各状态概率为：,系统状态概率Pn(t)的计算,状态,概率,0,1,2,n-1,

18、n,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,高速公路收费处设有一个收费通道，汽车到达服从泊松分布，平均到达速率为150辆小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒辆。求,(4)系统中的平均顾客数（系统中顾客数的期望值）Ls,(5)队列中的平均顾客数（等待）,(6)服务中的平均顾客数,(7)顾客在系统中的平均逗留时间W,(8)顾客在队列中的平均逗留时间 Wq,(1)收费处空闲的概率；,(2)收费处忙的概率；,(3)系统中分别有1，2，3辆车的概率,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,根据题意, =150辆/小时, 1/=15秒=1/240（小时/辆）,即240（辆/小时）

19、 /=150/240=5/8，,高速公路收费处设有一个收费通道，汽车到达服从泊松分布，平均到达速率为150辆小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒辆。求,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,高速公路收费处设有一个收费通道，汽车到达服从泊松分布，平均到达速率为150辆小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒辆。求,(1)系统空闲的概率为：,P0=1=1(5/8)=3/8=0.375,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,(2)系统忙的概率为：,1-P0=5/8=0.625,高速公路收费处设有一个收费通道，汽车到达服从泊松分布，平均到达速率为150辆小时，收

20、费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒辆。求,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,(3)系统中有1辆车的概率为：,高速公路收费处设有一个收费通道，汽车到达服从泊松分布，平均到达速率为150辆小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒辆。求,P1=(1)=0.6250.375=0.234,P2= 2(1)= 0.2340.625=0.146,P3=3(1)=0.1460.625=0.091,系统中有3辆车的概率为：,系统中有2辆车的概率为：,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,(4)系统中的平均顾客数（系统中顾客数的期望值）Ls,即队长为系统中顾客数的期望值（系统

21、中各种状态的加权平均值）,高速公路收费处设有一个收费通道，汽车到达服从泊松分布，平均到达速率为150辆小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒辆。求,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,(5)队列中的平均顾客数（等待）,高速公路收费处设有一个收费通道，汽车到达服从泊松分布，平均到达速率为150辆小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒辆。求,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,57,(6)服务中的平均顾客数,高速公路收费处设有一个收费通道，汽车到达服从泊松分布，平均到达速率为150辆小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒辆。求,7.4、排队论

22、与生灭过程-（生灭过程排队论）,(7)顾客在系统中的平均逗留时间W,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,高速公路收费处设有一个收费通道，汽车到达服从泊松分布，平均到达速率为150辆小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒辆。求,(8)顾客在队列中的平均逗留时间 Wq,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,高速公路收费处设有一个收费通道，汽车到达服从泊松分布，平均到达速率为150辆小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒辆。求,60,(6)服务中的平均顾客数 Lf=0P0+1（P1+ P2+ P3+）=1-P0=1-（1-）= =/,Little公式:,7.

23、4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,61,(6)服务中的平均顾客数 Lf=0P0+1（P1+ P2+ P3+）=1-P0=1-（1-）= =/,Little公式:,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,【例9.2】轻轨进站口售票处设有一个售票窗口，乘客到达服从泊松分布，平均到达速率为200人/小时，售票时间服从负指数分布，平均售票时间为15秒/人。求L、Lq、W和Wq。 【解】根据题意，=200人/小时，=240人/小时，=5/6。,如果系统的最大容量为N，对于单服务台的情形，排队等待的顾客最多为N-1，在某一时刻一顾客到达时，如系统中已有N个顾客，那么这个顾客就被拒绝进入系统。

24、系统状态转移如图9-7,图97,根据平衡方程，可递推得到各状态概率为：,系统状态概率Pn(t)的计算,状态,概率,0,1,2,n,N,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,根据平衡方程，可递推得到各状态概率为：,系统状态概率Pn(t)的计算,状态,概率,0,1,2,n,N,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,根据平衡方程，可递推得到各状态概率为：,系统状态概率Pn(t)的计算,状态,概率,0,1,2,n,N,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,系统中的平均顾客数L,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,队列中的平均顾客数Lq,7.4、排队论与生灭过程-（生灭

25、过程排队论）,队列中的平均顾客数Lq,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,在我们的有限容量模型中，每单位时间平均有名到达者到达，但是这些到达者中有PN的概率不能进入系统，因为此时系统已满，所以有 PN名到达者无法进入系统而离开。,e 称为有效到达率，即单位时间内到达并能进入队列的平均顾客数。e 称为有效服务强度 。对于有限容量系统，即使，系统的有限容量也会阻止系统中的人数爆炸，稳态存在。,顾客在队列中的平均逗留时间,顾客在系统中的平均逗留时间W,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,咨询中心有一位咨询工作人员，每次只能咨询一人，另外有4个座位供前来咨询的人等候。某人到来发现没

26、有座位，就不再等待而离去。前来咨询者到达服从泊松流，到达的平均速率为4人/小时，咨询人员的平均咨询时间为10分钟/人。咨询时间服从负指数分布。求： (1)咨询者到达不用等待就可咨询的概率 (2)咨询中心的平均人数以及等待咨询的平均人数 (3)咨询者来咨询中心一次平均花费的时间以及平均等待的时间 (4)咨询者到达后因客满而离去的概率 (5)增加一个座位可以减少的顾客损失率,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,【解】N=4+1=5，=4人/小时，=6人/小时，=2/3,咨询中心有一位咨询工作人员，每次只能咨询一人，另外有4个座位供前来咨询的人等候。某人到来发现没有座位，就不再等待而离去。

27、前来咨询者到达服从泊松流，到达的平均速率为4人/小时，咨询人员的平均咨询时间为10分钟/人。咨询时间服从负指数分布。求：,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,(1)咨询者到达不用等待就可咨询的概率,咨询中心有一位咨询工作人员，每次只能咨询一人，另外有4个座位供前来咨询的人等候。某人到来发现没有座位，就不再等待而离去。前来咨询者到达服从泊松流，到达的平均速率为4人/小时，咨询人员的平均咨询时间为10分钟/人。咨询时间服从负指数分布。求：,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,(2)咨询中心的平均人数以及等待咨询的平均人数,咨询中心有一位咨询工作人员，每次只能咨询一人，另外有4个

28、座位供前来咨询的人等候。某人到来发现没有座位，就不再等待而离去。前来咨询者到达服从泊松流，到达的平均速率为4人/小时，咨询人员的平均咨询时间为10分钟/人。咨询时间服从负指数分布。求：,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,(3)咨询者来咨询中心一次平均花费的时间以及平均等待的时间,咨询中心有一位咨询工作人员，每次只能咨询一人，另外有4个座位供前来咨询的人等候。某人到来发现没有座位，就不再等待而离去。前来咨询者到达服从泊松流，到达的平均速率为4人/小时，咨询人员的平均咨询时间为10分钟/人。咨询时间服从负指数分布。求：,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,(4)咨询者到达后因

29、客满而离去的概率,当N=6时,咨询中心有一位咨询工作人员，每次只能咨询一人，另外有4个座位供前来咨询的人等候。某人到来发现没有座位，就不再等待而离去。前来咨询者到达服从泊松流，到达的平均速率为4人/小时，咨询人员的平均咨询时间为10分钟/人。咨询时间服从负指数分布。求：,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,(5)增加一个座位可以减少的顾客损失率,即增加一个座位可以减少顾客损失率1.6%,有限顾客源排队系统模型,在无限源顾客系统中，顾客的平均到达速率是整个顾客源的性质，与单独的顾客无关。即使有顾客反复接受服务，对于本来就是无穷大的顾客源影响不大。,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排

30、队论）,在有限源系统中，由于一个顾客要反复接受服务，因此有必要假定每一个顾客在单位时间内需要接受服务的平均次数是相同的，设为。这样，有限源系统顾客的平均到达速率就与顾客源中的顾客数有关。,设顾客总数为m。当顾客需要服务时，就进入队列等待；服务完毕后，重新回到顾客源中，如此循环往复。由于顾客源的数量有限，因此队列的长度也是有限的，并且队列的长度必定小于顾客源总数 。,78,以机器维修问题为例，设机器总数为m台，每台机器在单位时间内发生故障的平均次数为，已经发生故障正在等待修理及正在接受修理的机器数为n。试想，由于机器需要反复修理，所以可以把单位时间内需要修理的机器总数看成是一共m 台（一台只修理

31、一次），其中有n 台在系统中，所以单位时间内将要到达的机器数（剩余的）可以看成（m - n ）台。,有限源系统顾客的平均到达速率：为每个顾客在单位时间内到达的平均次数， n为在系统中的顾客数。,有限顾客源排队系统模型,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,有限顾客源排队系统模型,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,0,1,2,n-1,n,n+1,m-1,m,图9-8 有限顾客源模型状态转移图,状态转移图如图9-8,由图9-8得到系统稳态概率平衡方程组,系统状态概率的计算,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,用递推方法解该方程组，得到,不要求=/1,系统中的平均顾客数

32、L,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,队列中的平均顾客数Lq,顾客在队列中的平均逗留时间,顾客在系统中的平均逗留时间W,在机器维修问题中，L是待检修及正在检修的平均机器数，而,表示正常运行的平均机器数。,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,某车间有5台机器，每台机器的连续运转时间服从负指数分布，一天（8小时）平均连续运行时间120分钟。有一个修理工，每次修理时间服从负指数分布，平均每次96分钟。求： (1)修理工忙的概率(记为Pb)； (2)五台机器都出故障的概率； (3)出故障的平均台数； (4)平均停工时间； (5)平均等待修理时间； (6)评价这个系统的运行情况,7

33、.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,【解】一天为一个单位时间。认为一天内来修理的机器数平均为4台，修理工一天平均修理机器数为5台。m=5，=4，=5，=0.8,某车间有5台机器，每台机器的连续运转时间服从负指数分布，一天（8小时）平均连续运行时间120分钟。有一个修理工，每次修理时间服从负指数分布，平均每次96分钟。求：,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,(1)修理工忙的概率(记为Pb)；,某车间有5台机器，每台机器的连续运转时间服从负指数分布，一天（8小时）平均连续运行时间120分钟。有一个修理工，每次修理时间服从负指数分布，平均每次96分钟。求：,7.4、排队论与生灭过

34、程-（生灭过程排队论）,(2)五台机器都出故障的概率；,某车间有5台机器，每台机器的连续运转时间服从负指数分布，一天（8小时）平均连续运行时间120分钟。有一个修理工，每次修理时间服从负指数分布，平均每次96分钟。求：,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,(3)出故障的平均台数；,某车间有5台机器，每台机器的连续运转时间服从负指数分布，一天（8小时）平均连续运行时间120分钟。有一个修理工，每次修理时间服从负指数分布，平均每次96分钟。求：,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,(4)平均停工时间；,某车间有5台机器，每台机器的连续运转时间服从负指数分布，一天（8小时）平均连

35、续运行时间120分钟。有一个修理工，每次修理时间服从负指数分布，平均每次96分钟。求：,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,(5)平均等待修理时间；,由计算结果看出，系统的修理工几乎没有空闲时间，机器的停工时间是平均运行时间的三倍，系统的服务效率很低,某车间有5台机器，每台机器的连续运转时间服从负指数分布，一天（8小时）平均连续运行时间120分钟。有一个修理工，每次修理时间服从负指数分布，平均每次96分钟。求：,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,(6)评价这个系统的运行情况,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,这个系统的特点是，系统的服务速率与系统中的顾客数有关

36、。当系统中的顾客数k不大于服务台个数，即1ks时，系统中的顾客全部在服务台中，这时系统的服务速率为k。当系统中的顾客数ks时，因服务台有限，系统的服务速率达最大为s。,规定各服务台工作相互独立且服务速率相同,系统的平均服务速率为 s,令,0,1,2,s-1,s,s+1,n-1,n,图9-9 基本模型状态转移图,系统的状态转移图9-9。,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,稳态概率方程,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,系统状态概率的计算,系统中的平均顾客数L,队列中的平均顾客数Lq,顾客在队列中的平均逗留时间,顾客在系统中的平均逗留时间W,7.4、排队论与生灭过程-（生灭

37、过程排队论）,顾客需要等待 (系统已有s个顾客)的概率,银行办理个人储蓄业务有三个窗口，顾客到达服从泊松流，到达速率为0.9人分，办理业务时间服从负指数分布，每个窗口的平均服务速率为0.4人分。顾客到达后取得一个排队号，依次由空闲窗口按号码顺序办理储蓄业务。求： (1)所有窗口都空闲的概率； (2)平均队长； (3)平均等待时间及逗留时间； (4)顾客到达后必须等待的概率。,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,(1)所有窗口都空闲的概率；即求P0,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,银行办理个人储蓄业务有三个窗口，顾客到达服从泊松流，到达速率为0.9人分，办理业务时间服从负

38、指数分布，每个窗口的平均服务速率为0.4人分。顾客到达后取得一个排队号，依次由空闲窗口按号码顺序办理储蓄业务。求：,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,银行办理个人储蓄业务有三个窗口，顾客到达服从泊松流，到达速率为0.9人分，办理业务时间服从负指数分布，每个窗口的平均服务速率为0.4人分。顾客到达后取得一个排队号，依次由空闲窗口按号码顺序办理储蓄业务。求：,(2)平均队长；先求Lq ,再求L,(3)平均等待时间和平均逗留时间，即求Wq和W的值,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,银行办理个人储蓄业务有三个窗口，顾客到达服从泊松流，到达速率为0.9人分，办理业务时间服从负指数分布，每个窗口的平均服务速率为0.4人分。顾客到达后取得一个排队号，依次由空闲窗口按号码顺序办理储蓄业务。求：,(4)顾客到达后必须等待，即n3,7.4、排队论与生灭过程-（生灭过程排队论）,银行办理个人储蓄业务有三个窗口，顾客到达服从泊松流，到达速率为0.9人分，办理业务时间服从负指数分布，每个窗口的平均服务速率为0.4人分。顾客到达后取得一个排队号，依次由空闲窗口按号码顺序办理储蓄业务。求：,7.4、排队论与生