素理想与极大理想PPT

1、3.5素理想与极大理想(3.5 Element Ideal and Maximum Ideal),我们知道,任意环R的同态像R均同构于R的商环, R R R/I. 因此,只要找出R的一切理想I,也就找出了R的所有同态像. 本节我们研究R的同态像为整环或域的情形.即研究R中那些理想I,能使R/I为整环?哪些理想I,能使R/I为域.本节始终假定R是有单位元1的可换环. 3.5.1 素理想(Element Ideal) Def: 设R是有单位元的可换环,I是R的理想,若对 a,bR, abI aI 或 bI, 则称I为R的素理想.,例1: 设R是整数环Z, p是素数,I=.则I是R的素理想. 事实上

2、,设a,bR,abI,则p |(ab) p|a 或 p|b,即aI或bI.,有了素理想的概念,可以回答上面的第一个问题. Th1:设R是可换环,I是R的理想,则 R/I是整环I是R的素理想 证明:) R/I是整环,a,bR,abI,由于(a+I)(b+I)=ab+I=I,故a+I=I或b+I=I,即aI或bI,从而I是一个素理想. ) 反之,设I是素理想,在R/I中,假定有(a+I)(b+I)=I,则abI aI或bI,即a+I=I或b+I=I,即R/I没有真零因子,故R/I是整环. 推论:具有单位元的可换环是整环0是素理想.,Th2:设R是具有单位元的可换环,则真理想P是素理想 R的任理想I

3、,J,若IJP,则IP或JP.,证明: ) P是R的素理想, I,J是R的理想, 且IJP,而IP,JP,则存在aI,bJ,aP,bP,但abIJP,这与P是素理想矛盾. ) 理想I,J, IJP IP或JP, 但P不是素理想.则存在a,bR,aP,bP,但abP,令I0是由Pa生成的理想, J0是由Pb生成的理想.由于R是有单位元的可换环,从而I0=p+sa|pP,sR, J0=q+rb|qP,rR, 因此 I0J0=pq+prb+saq+tab | p,qP,t,s,rRP. 但I0P,J0P,矛盾. P是素理想.,3.5.2 极大理想(Maixmum Ideal),为了回答前面的第2个问

4、题,首先介绍极大理想的概念. Def:设I是环R的理想, IR, 若I真包含于R的理想M,则M=R. 称I为R的一个极大理想. 换句话说,除了I和R之外,没有包含I的理想. 例:设R是整数环(Z,+, ), p为素数, I=, 则I为R的一个极大理想. 因为若I理想M,则M一定包含一个不能被p整除的整数q.由于p是素数,(p,q)=1,故可找到整数s和t,使得sp+tq=1, 但pI,而且I是理想,故1M,所以M=Z. 由此可见,一个环可以有许多个极大理想.,Th3: 设R是一个有单位元的可换环,I是R的一个理想,则 I是R的极大理想 R/I是域,证明:)I是R的极大理想,欲证R/I是域,只需证若a+I是R/I的非零元,则a+I可逆. 命I =h+ax|hI,xR, 则I是R的一个理想且II.由于I是极大理想,故I=R,由于1I, 故存在hI, xR,使1=h+ax.于是 1+I=h+ax+I=ax+I=(a+I)(x+I) 即a+I在R/I中有逆元x+I,从而R/I是域.,) 设R/I是一个域,M是R的真包含I的理想,下证 M=R.,由于IM,故存在aM,aI,于是a+I是R/I的非零元,必有逆元存在,即存在xR,(a+I)(x+I)=1+I,即ax+I=1+I,但aM,IM,故axM,ax+IM,