第二章 晶格振动.ppt

1、1,第二章 晶格振动,2.2 一维布拉菲格子的晶格振动,2.1 晶体中原子的微振动 声子,2.3 一维复式格子的晶格振动,2,2.1 晶体中原子的微振动 声子,微振动方程,3,晶体振动势能U是qi的函数，按qi的幂展开成泰勒级数,原子处于平衡位置势能为极小 令各原子处于平衡位置时势能为零 U0=0， 忽略高阶项（简谐近似）,4,利用拉格朗日函数：L=T-U，分别将动能项和势能项带入代入拉格朗日方程：,表示在简谐近似下所有的原子都围绕各自的平衡位置作简谐振动。,方程特解：,5,对某一个原子而言，实际振动是由许多振动模式引起的振动的叠加，形式极为复杂。个原子的振动是复杂的，可看成3N个简谐振动的叠

2、加。,运用线性变换的方法，引入简正坐标，消除势能交叉项（相互耦合），将N个相互作用着的原子系统简化为3N个独立的谐振系统。,每一个独立的谐振动方程：,则晶格振动的总能量可写成：,6,其中每一项均具有如下形式：,此即为一振动频率为vl=l/2的线性谐振子的能量。,每一个谐振子能量可表示为,二、声子,7,能量hvl是一个基本单元，在与其它基本单元相互 作用时，吸收或释放的能量hvl的整数倍，将这种 晶格振动的“量子”称为声子。,8,原子均围绕其平衡位置作振动，在简谐近似条件下，上述模式是相互独立的。,原子振动不是孤立的，而是相互联系着的，从而使振动在全部晶体中传播，即激发起波动，也即在晶体内形成各

3、种模式波；,原子处在自己的平衡位置上，整个晶体势能最低；,9,2.2 一维布拉菲格子的晶格振动,原胞中只含有一个原子，整个原子平面作同位相运动。且每个原子都具有相同的质量 m；晶格常数(平衡时原子间距)为a，热运动使原子离开平衡位置x 。,研究的体系,10,原子的位移,设 xn为第n个原子相对其平衡位置的位移，即第n个原子的绝对位移，向右为正，向左为负，因此，第 n个原子相对第n+1个原子间的位移是：,xnxn+1,同理第n个原子相对第n-1个原子间的位移： xnxn-1,11,近似条件,近邻作用近似：仅考虑最近邻原子间相互作用；,简谐近似：当温度不太高时，原子间的相对位移 较小，互作用势能在

4、平衡点 a处泰勒展开式中可只取到二阶项，而舍去更高阶项。,受力分析,式中r =a+，为原子间的相对位移(xn-xn+1)。,两原子间的相互作用势能在平衡位置附近以泰勒级数展开，可得到：,12,在平衡位置，势能为极小值,上式对微分：,13,则原子间相互作用力（xr =a+,x）,因此在简谐近似下，原子间的相互作用类似于一个弹簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原子的振动相互关联传播形成格波。称为弹性恢复力系数。,格波：晶格中的所有原子以相同频率振动而形成的波，或某一个原子在平衡位置附近的振动是以波的形式在晶体（晶格）中传播形成的波。,14,一维单原子链谐振子示意图,15,只考虑最近邻原子的相互

5、作用时，则第n个原子的受力情况为：,简谐近似下的运动方程,第n+1个原子对第n个原子的作用力：,第n-1个原子对第n个原子的作用力：,16,由于原子间的作用力类似于弹簧谐振子，其服从 牛顿定律，因此可得第n个原子的牛顿运动方程：,晶格中每一个原子都有一个类似的方程，n共可取N个值，故该式实为N个方程组成的线性齐次方程组，可有N个解，也即晶体的总自由度为N。通常采用试解的方法求解上述方程。,17,上式表示平衡位置在 y =na处原子的振动，q称为格波波矢：q =2/； 正q对应于沿+x方向前进的波，负q 对应沿-x方向的波，这种在晶体(晶格)中传播的波，即为格波。 一维布拉菲晶格中所有原子均以相

6、同的频率和相同的振幅振动。,考虑上述方程具有简谐波形式的试解：,每一支格波与一个振动模式(声子)一一对应。,格波的色散关系,18,将试解代入运动方程：,上式为一维简单晶格中格波的色散关系(频率和格波波矢q的关系)，也称频谱关系。-q的关系为周期函数。,19,色散关系具有周期性，常将q限制在,长度正好是倒格矢的长度,称为第一布里渊区范围。,一维布拉菲格子晶格振动的色散关系,max=2(/m)1/2,20,0,q,(q)= (q+2/a),波矢空间具有平移对称性,其周期为第一布里渊区边长,21,周期性边界条件,考虑有限长的一维原子链，由 N 个原子组成，另有无穷多个相同的一维原子链与之联结而形成无

7、限长的一维原子链，各段相应原子运动情况相同。,式中L=Na，s为整数，共有N种不同的取值。,说明波矢空间中，一个q对应一个振动模式，振动模式是均匀分布的，q只能相隔2/L的分立值。,22,两个波矢间隔,第一布里渊区的尺度为,第一布里渊区内的波矢数目,晶格振动波矢的数目=晶格原胞数,23,红线：q=5/2a, =4a/5 两相邻原子振动的位相差是aq=2+ /2。,绿线：q=/2a，=4a 两相邻原子振动的位相差是aq=/2。,波矢q=/2a原子的振动可以当作波矢q =5/2a的原子的振动（q-q=2/a）。,24,连续介质波中 x 表示空间任意一点，而格波的波矢 q不连续，只取呈周期性排列的格

8、点的位置； 一个格波解表示所有原子同时做频率为的振动，不同原子间有位相差，相邻原子间位相差为aq。 二者的重要区别在于波矢的涵义，q 与q 对应于相同振动，也即同一振动状态对应多个波矢，或多个波矢为同一振动状态。（q=q+n2/a）。,格波与一般连续介质波的比较，相同之处在于振动方程形式类似，不同之处主要有：,25,2.3 一维复式格子的晶格振动,讨论N个原胞的一维双原子链(相邻原子间距为a)。,一维双原子复式格子,26,质量为M的原子位于 2n-1， 2n+1， 2n+3 。 质量为m的原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 。,27,运动方程,体系有N个原胞，有2N个独立的方程，对应试解取

9、：,A和B分别为m和M原子的振幅。,28,代入对应的牛顿运动方程：,线性齐次方程非零解条件,29,表明对于一维双原子复式格子，存在两种不同的格波的色散关系。,一维双原子复式格子的振动频谱,声频支,光频支,30,声频支和光频支,对每一个波矢q，有两类独立的振动：,+称为光频支，相应的格波称为光学波,-称为声频支，相应的格波称为声学波,当mM，两支色散关系间存在一频隙。,31,考虑长波极限(，q0），将试解代入运动方程,讨论,或有,32,表示声频支在长波极限下，原胞内两个原子的振幅相同，且相邻原子振动位相差qa0，即原子振动情况一致，换句话说，即声频支在长波限描述了原胞的整体运动。,即当时有近似于

10、线性的色散关系，说明长声学波与声波的性质类似，可近似连续介质的弹性波。,如，当时，,33,若，当时，,也即 mA+MB+=0，表明原胞质心保持静止。若是离子晶体，在电场作用下异号离子受力相反，可用光波来激发离子晶体中的这种长波振动。,34,前者是相邻原子振动方向相同，波长很长时，格波为晶胞中心在振动，可以看作连续介质的弹性波； 后者是相邻原子的振动方向相反，波长很长时，晶胞中心不动，晶胞中的原子作相对振动。,声学波与光学波的区别,35,对于实际三维晶体，上述的分析方法和结论是普适的。,三维情形下，若基由n个原子组成，原胞内的原子共有3n个自由度，因而存在3n个格波。3支格波为声频支；3(n-1

11、)支格波为光频支。,若共有N个原胞组成晶体，独立振动模式数为3nN，即格波模式数为3nN。,36,当振动微弱时，即在简谐近似情况下，格波为简谐波。此时，格波之间的相互作用可以忽略，可以认为它们的存在是相互独立振动的模式，每一独立模式对应一个振动态(q) 。 晶格的周期性给予格波以一定的边界条件，使独立的模式，也即独立的振动态是分立的。可以用独立简谐振子的振动来表述格波的独立模式。 声子晶格振动中的独立简谐振子的能量量子。,声子的性质,小 结,37,光子-电磁波的能量量子。电磁波可以认为是光子流，光子携带电磁波的能量和动量。 声子-声子携带声波的能量和动量。若格波频率为，波矢q为，则声子的能量为

12、，动量为q。 声子和物质相互作用服从能量和动量守恒定律，如同具有能量和动量q的粒子一样。 可以将格波与物质的互作用过程，理解为声子和物质的碰撞过程，使问题大大简化。,声子的粒子性：,38,晶体中的原子在平衡位置附近的微振动具有波的形式（称为格波）。由于原子间的相互作用力，在晶体中产生格波, 原子间的作用力符合胡克定律时, 格波为简谐波。格波间不发生相互作用, 独立存在。 晶体中所有格波都可用第一布里渊区内的波矢（色散关系图）来描述。 由于边界条件，使格波发生分立，若晶体中含有个N原胞，每个原胞含有n个原子，则共有3nN个格波，其中3支是声学波，3(n-1)支是光学波，每支包含N个格波。,39,声学波与光学波的区别。前者是相邻原子的振动方向相同，波长很长时，格波为晶胞中心在振动，可以看作连续介质的弹性波；后者是