福建专用2020版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.3导数的综合应用课件新人教A版.pptx

1、3.3导数的综合应用,-2-,考点1,考点2,考点3,利用导数证明不等式 例1设函数f(x)=ln x-x+1. (1)讨论f(x)的单调性;,(3)设c1,证明当x(0,1)时,1+(c-1)xcx. 思考利用导数证明不等式的基本思路是什么?,(1)解：(导数与函数的单调性) 由题设,f(x)的定义域为(0,+),f(x)= -1,令f(x)=0解得x=1. 当00,f(x)单调递增; 当x1时,f(x)0,f(x)单调递减.,-3-,考点1,考点2,考点3,(2)证明：由(1)知f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=0. 所以当x1时,ln xx-1.,(3)证明：由题设c1,(

2、构造函数) 设g(x)=1+(c-1)x-cx, 则g(x)=c-1-cxln c,-4-,考点1,考点2,考点3,解题心得利用导数证明不等式时,可移项使不等式一边化为0的形式,再构造函数,将问题转化为函数的单调性、极值或最值问题,即利用求导方法求单调区间,比较函数值与0的关系.如证明不等式f(x)g(x),可构造函数h(x)=f(x)-g(x),证明h(x)min0即可,也可证明f(x)maxg(x)min.,-5-,考点1,考点2,考点3,(1)证明:f(x)在(0,1)上单调递减; (2)若01.,所以当00,h(x)单调递增. 又h(1)=0,所以当0x1时,h(x)0, 即f(x)0

3、,所以f(x)在(0,1)上单调递减.,-6-,考点1,考点2,考点3,令t(x)=ax-xln a-1,00, 所以t(x)在(0,1)上单调递增, 即t(x)t(0)=0,所以axxln a+1. 所以g(x)=ax+xaxa+xln a+1=x(xa-1+ln a)+1x(1+ln a)+11. 综上,g(x)1.,-7-,考点1,考点2,考点3,例2设f(x)=xex,g(x)= x2+x. (1)令F(x)=f(x)+g(x),求F(x)的最小值; (2)若任意x1,x2-1,+),且x1x2,有mf(x1)-f(x2)g(x1)-g(x2)恒成立,求实数m的取值范围. 思考利用导数

4、解决不等式恒成立问题的基本思路是什么?,解:(1)F(x)=f(x)+g(x)=xex+ x2+x,F(x)=(x+1)(ex+1), 令F(x)0,解得x-1,令F(x)0,解得x-1, F(x)在(-,-1)内递减,在(-1,+)内递增.,-8-,考点1,考点2,考点3,(2)任意x1,x2-1,+),且x1x2,有mf(x1)-f(x2)g(x1)-g(x2)恒成立, mf(x1)-g(x1)mf(x2)-g(x2)恒成立.,解题心得利用导数解决不等式恒成立问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,然后求出最值,进而得出相应的含参不等式,最后求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函

5、数,直接把问题转化为函数的最值问题.,-9-,考点1,考点2,考点3,(2)若在区间(1,+)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax的下方,求a的取值范围.,-10-,考点1,考点2,考点3,-11-,考点1,考点2,考点3,-12-,考点1,考点2,考点3,例3已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 思考如何利用导数求与函数零点有关的参数范围?,解:(1)f(x)的定义域为(-,+),f(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1). ()若a0,则f(x)0,则由f(x)=0得x=

6、-ln a. 当x(-,-ln a)时,f(x)0,所以f(x)在(-,-ln a)内单调递减,在(-ln a,+)内单调递增.,-13-,考点1,考点2,考点3,(2)()若a0,由(1)知,f(x)至多有一个零点. ()若a0,由(1)知,当x=-ln a时,f(x)取得最小值,又f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2-2e-2+20,故f(x)在(-,-ln a)内有一个零点.,-14-,考点1,考点2,考点3,解题心得与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图象,讨论其图象与x轴的位置关系(或者转化为两个熟悉函数的图象交

7、点问题),进而确定参数的取值范围.,-15-,考点1,考点2,考点3,对点训练3已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点. (1)求a的取值范围; (2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x22.,解: f(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a). ()设a=0,则f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一个零点. ()设a0,则当x(-,1)时,f(x)0, 所以f(x)在(-,1)单调递减,在(1,+)单调递增.,-16-,考点1,考点2,考点3,故当x(1,+)时,f(x)0, 因此f(x)在(1,+)单调递增. 又当x1时,f(x)0,所以f(x)不存在两个零点.,故当x(1,ln(-2a)时,f(x)0. 因此f(x)在(1,ln(-2a)单调递减, 在(ln(-2a),+)单调递增. 又当x1时f(x)0,所以f(x)不存在两个零点. 综上,a的取值范围为(0,+).,()设a0,由f(x)=0得x=1或x=ln(-2a).,-17-,考点1,考点2,考点3,(2)证明:不妨设x1f(2-x2),即f(2-