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文档简介

1、1,第3章 复变函数的积分,1.有向曲线,1 复变函数积分的概念,设C为平面上,规定了方向的曲线,C,其中A为起点,B为终点,从起点到终点的方向,称为正方向,记为C,从终点到起点的方向,称为负方向,记为C,简单闭曲线,的正向规定为:,沿着该曲线前进时,它围成的内部,始终在左侧,起点,终点,的一条光滑曲线,称为有向曲线.,2,2.复变函数积分的定义,设函数,定义在区域D内,C是D内起点为A,终点为B的,C,一条光滑有向曲线，,用n1个分点，,将C分成n个小弧段，,如果极限存在,则称该极限值,为函数,沿曲线C的积分,记为,如果C为闭曲线,则沿该闭曲线,的积分记为,3,则沿曲线C,3.积分存在的条件

2、,如果,在区域D内,且曲线C是D内,或者是一条,一定存在,C,光滑曲线,分段光滑曲线,处处连续,一条光滑曲线,分段光滑曲线,的积分,4,C,起点,终点,C=C1+C2,C1,C2,4.积分的性质,若在曲线C上,曲线C的长度为L,则,5,写出曲线C的参数方程,5.积分的计算方法一：,参数方程代入法:,C,起点,终点,求出起点A对应的参数,终点B对应的参数,从原点到,的直线段,例如从原点到,的直线段,为中心、,半径R的圆的方程,原点为中心、,半径R的圆的方程,的参数方程为,的参数方程为,6,48页2.,计算,起点,终点,1）解,参数方程：,2）解,参数方程：,原式,原式,1)沿直线,2)沿曲线,7

3、,例2,计算,1) 从原点到,起点,终点A,的直线段,1)解,参数方程：,其中C为,2) 从原点沿实轴到1,再从1垂直向上到,的折线段,2) 解,C1,C2,C1参数方程：,C2参数方程：,8,练习,计算,其中C为一条闭路，,由直线段：,与上半圆周,组成,解,设,原式=,9,记住36页例3.2的结论,设C：,证明：,整数,C的参数方程:,积分算法二：,特别,C是以原点为中心、,半径为r的正向圆周,整数,例如,10,例3,计算,其中C为正向圆周:,解,解法2,由,得到,原式=,2),解,由,得到,原式=,11,Th3.3若,3.2 柯西积分定理,在单连通区域D内,解析,则,沿D内,的积分,证明,

4、在D内解析,与,在D内可微，且,所以,因为,根据格林公式,一、,单连通区域上,的柯西积分定理,任何一条,封闭曲线C,为零,积分算法三：,12,Th3.3 若,在单连通,解析,则,任何一条,的积分为零,C,设C是一条,Th3.4,若,则,沿D内,例1 计算积分,其中C是正向圆周：,解 因为函数,在闭区域,上处处解析,所以,例2 计算积分,其中C,解 因为函数,在复平面上,所以,区域D内,简单闭曲线,是包围原点,的闭曲线,简单闭曲线C,处处解析,在闭区域,上解析,13,例3 计算积分,其中C是正向圆周：,解,在,上解析,所以,例4 计算积分,其中C是正向圆周：,解,在,上解析,所以,因为,因为,14,例5 计算积分,其中C是正向圆周：,因为,在,上解析,所以,解,得,因为,在,上解析,所以,解,得

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