2层次分析建模.ppt

1、第2讲 层次分析法建 模,凯 里 学 院 2010 年 数 学 建 模 竞 赛 培 训 课 件,主讲:潘东云 邮箱： Q Q: 513551582,欢迎各位参加 数学建模竞赛的培训,同学们在培训期间要做好以下几项：,（1）认真听课，积极参加讨论。 认真钻研经典模型，自己动手做一些赛题。 （2）爱护教室与机房卫生，养成良好的卫生习惯。 （3）不迟到，不早退，严格要求自己。,凯 里 学 院 2010 年 数 学 建 模 竞 赛 培 训 课 件,决策:人们选择或进行判断的一种思维活动, 实践中要对某些系统的重要性做出恰当的评价,以列出它们的轻重缓急,从而集中解决重要的问题。,复杂问题 分解成因素,按

2、支配关系分组形成 有序的递阶层次结构,层次 分析 法的 基本 思路,衡量各方面的影响,综合判断,做出决策,凯 里 学 院 2010 年 数 学 建 模 竞 赛 培 训 课 件,层次分析法（The analytic hierarchy process）简称AHP，在20世纪70年代中期由美国运筹学家,匹兹堡大学教授托马斯莎丁（T.L.Saaty）正式提出。,它是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。,由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围得到重视。,它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。,凯

3、里 学 院 2010 年 数 学 建 模 竞 赛 培 训 课 件,一、层次分析法的基本原理,、递阶层次结构原理 将问题所包含的因素分层，一般划分为 （1）最高层：一般只有一个元素，表示解决问题的目的； （2）中间层：表示为实现总目标所涉及的中间环节，可分为策略层、约束层、准则层等 （3）最低层：用于解决问题和各种措施、方案等。,凯 里 学 院 2010 年 数 学 建 模 竞 赛 培 训 课 件,2、测度原理：,社会、经济系统的测度具有以下特点: (1)测度对象的属性大多具有相对性质,无法确定统一的标度. (2)测度对象的环境时常变化,即使有一种统一尺度,由于环境的变化也会使其失去常规意义.

4、(3)社会、经济系统缺少必要的测度工具,往往需要人的判断.,层次分析法提供了测度决策因素的基本方式,采用相对标度进行两两比较,统一对有形与无形、可定量与不可定量的因素进行测度。,凯 里 学 院 2010 年 数 学 建 模 竞 赛 培 训 课 件,3、排序原理：,一组元素两两比较其重要性,计算元素相对重要性的测度问题。,凯 里 学 院 2010 年 数 学 建 模 竞 赛 培 训 课 件,二、层次分析法的基本步骤,1、建立层次结构模型。 在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次，同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或

5、受到下层因素的作用。,凯 里 学 院 2010 年 数 学 建 模 竞 赛 培 训 课 件,目标层,O(选择旅游地),准则层,方案层,1.建立层次结构模型,例. 选择旅游地,如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.,凯 里 学 院 2010 年 数 学 建 模 竞 赛 培 训 课 件,将问题包含的因素分层： 最高层（解决问题的目的）； 中间层（实现总目标而采取的各种措施、必须考虑 的准则等。也可称策略层、约束层、准则层等）； 最低层（用于解决问题的各种措施、方案等）。把 各种所要考虑的因素放在适当的层次内。用层次结构图清 晰地表达这些因素的关系。,凯 里 学 院 2010 年 数

6、 学 建 模 竞 赛 培 训 课 件,层次分析法的基本步骤,成对比较阵和权向量,元素之间两两对比，对比采用相对尺度,设要比较各准则C1,C2, , Cn对目标O的重要性,A成对比较阵,A是正互反阵,要由A确定C1, , Cn对O的权向量,选择旅游地,凯 里 学 院 2010 年 数 学 建 模 竞 赛 培 训 课 件,成对比较的不一致情况,允许不一致，但要确定不一致的允许范围,考察完全一致的情况,成对比较阵和权向量,竞 赛 培 训 课 件,成对比较完全一致的情况,A的秩为1，A的唯一非零特征根为n,A的任一列向量是对应于n 的特征向量,A的归一化特征向量可作为权向量,对于不一致(但在允许范围内

7、)的成对比较阵A，建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w ，即,一致阵性质,成对比较阵和权向量,竞 赛 培 训 课 件,2 4 6 8,比较尺度aij,Saaty等人提出19尺度aij 取值1,2, , 9及其互反数1,1/2, , 1/9,心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个,用13,15,117,1p9p (p=2,3,4,5), d+0.1d+0.9 (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现， 19尺度较优。,便于定性到定量的转化：,成对比较阵和权向量,竞 赛 培 训 课 件,一致性检验,对A确定不一致的允许范围,已知：n 阶一致

8、阵的唯一非零特征根为n,可证：n 阶正互反阵最大特征根 n, 且 =n时为一致阵,定义一致性指标:,CI 越大，不一致越严重,为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI随机模拟得到aij , 形成A，计算CI 即得RI。,定义一致性比率 CR = CI/RI,当CR0.1时，通过一致性检验,Saaty的结果如下,竞 赛 培 训 课 件,“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验,准则层对目标的成对比较阵,最大特征根=5.0721,权向量(特征向量)w =(0.2636,0.4758,0.0538,0.0981,0.1087)T,一致性指标,随机一致性指标 RI=1.12 (查表),一致

9、性比率CR=0.018/1.12=0.01610.1,通过一致性检验,竞 赛 培 训 课 件,V,D=eig(A),V 为成对比较阵A 的特征值，D 的列为相应特征向量。 再标准化，V(:,1)/(ones(1,5)*V(:,1),CI=(lamda-5)/4;CR=CI/1.12,MATLAB,组合权向量,记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为,同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量,方案层对C1(景色)的成对比较阵,方案层对C2(费用)的成对比较阵,竞 赛 培 训 课 件,方案层对C3(居住)的成对比较阵,方案层对C4(饮食)的成对比较阵,方案层对C1(旅途)的成对比较阵

10、,组合权向量,RI=0.58 (n=3), CRk 均可通过一致性检验,竞 赛 培 训 课 件,0.29930.24530.4554,方案层对目标的组合权重为,方案层对目标的组合权向量为 (0.2993, 0.2453, 0.4554)T,组合权向量,组合 权向量,第2层对第1层的权向量,第3层对第2层各元素的权向量,构造矩阵,则第3层对第1层的组合权向量,第s层对第1层的组合权向量,其中W(p)是由第p层对第p-1层权向量组成的矩阵,竞 赛 培 训 课 件,层次分析法的基本步骤,1）建立层次分析结构模型,深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标准则或指标方案或对象），上层受下层影响，而

11、层内各因素基本上相对独立。,2）构造成对比较阵,用成对比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。,3）计算权向量并作一致性检验,对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。,4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）,组合权向量可作为决策的定量依据。,竞 赛 培 训 课 件,三. 层次分析法的广泛应用,应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。,处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。,建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。,构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家