数字信号处理 - 有限冲激响应.ppt

1、哈工大电信院信息工程系宿富林,1,第2章 有限冲激响应（FIR）数字滤波器的设计,哈工大电信院信息工程系宿富林,2,问题,为什么要研究FIR滤波器设计？ FIR滤波器有些什么特点？ FIR滤波器有哪些主要设计方法？ 这些设计方法主要设计思想是什么？基本设计过程又是怎样？各有什么特点？,哈工大电信院信息工程系宿富林,3,FIR数字滤波器的特点,严格的线性相位特性 系统是稳定的(无极点)。 系统是因果的（可通过延时来实现）。 可用FFT来实现，运算效率高。 阶数较高：降低FIR数字滤波器的阶数是设计中的重要问题。,哈工大电信院信息工程系宿富林,4,FIR数字滤波器的主要设计方法,窗口法 频率抽样法

2、 整系数滤波器（不讲） 等波纹优化设计法。其中包括Remez方法和线性规划设计方法（不讲）,哈工大电信院信息工程系宿富林,5,FIR滤波器的其他叫法,卷积滤波器 移动平均滤波器 横向滤波器 非递归型滤波器,哈工大电信院信息工程系宿富林,6,2.1 滤波器设计的基本概念,2.1.1 滤波器的分类 数字滤波器是数字信号处理的重要基础。在对信号的过滤、检测与参数的估计等处理中，数字滤波器是使用最广泛的线性系统。 数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。它将输入的数字序列通过特定运算转变为输出的数字序列,哈工大电信院信息工程系宿富林,7,如果|H(j)|的值在某些频率上是比较小的，则输入信号中

3、的这些频率分量在输出信号中将被抑制掉。因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择H(j)(即求合适的ak，bk或h(n)，使得滤波后的Y(j)符合人们的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。 滤波器按照频率响应的通带特性可划分为低通、高通、带通和带阻几种形式。,哈工大电信院信息工程系宿富林,8,常见数字滤波器的理想幅频特性,哈工大电信院信息工程系宿富林,9,2.1.2 滤波器的技术指标,理想滤波器(如理想低通滤波器)是非因果的， 其单位脉冲响应从-延伸到+， 因此，无论用递归还是非递归方法， 理想滤波器是不能实现的， 但在概念上极为重要。 一般来说，滤波器的性能要求往往以频率响应的

4、幅度特性的允许误差来表征。 以低通滤波器为例，如图（称容限图）所示， 频率响应有通带、 过渡带及阻带三个范围（而不是理想的陡截止的通带、阻带两个范围）。图中1为通带的容限，2为阻带的容限。,哈工大电信院信息工程系宿富林,10,低通滤波器频率响应幅度特性的容限图,|p,s|,p, s分别为通带截止频率和阻带截止频率。,p,s,在通带内,在阻带内,哈工大电信院信息工程系宿富林,11,虽然给出了通带的容限1及阻带的容限2，但在具体技术指标中往往使用通带允许的最大起伏（波纹）Ap和阻带应达到的最小衰减As描述，Ap及As (单位：分贝或dB)的定义分别为：,p,s,1/Ap,1/As,阻带衰减值（低好

5、） 带内波动（平缓好） 过渡带宽（窄好）,哈工大电信院信息工程系宿富林,12,2.1.3 滤波器的设计步骤, 按照实际任务要求， 确定滤波器的性能指标 用一个因果稳定的离散线性时不变系统的系统函数去逼近这一性能要求。根据不同要求可以用IIR系统函数或FIR系统函数去逼近。 利用有限精度算法来实现这个系统函数。这里包括选择运算结构，选择合适的字长（包括系数量化及输入变量、中间变量和输出变量的量化）以及有效数字的处理方法（舍入、截尾）等。,哈工大电信院信息工程系宿富林,13,2-2 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点,一、一般意义下的滤波器（高通、低通、带通、带阻、希尔伯特（Hilbert）变换

6、器和微分器 ）的特点及线性相位条件,低通,高通,带阻,哈工大电信院信息工程系宿富林,14,希尔伯特变换器,微分器,哈工大电信院信息工程系宿富林,15,1、线性相位,线性相位是指()是的线性函数，即 ()=, 为常数 或： ()=0+,0是起始相位 线性相位的群延时（定义为相位对角频率的导数的负值，是滤波器平均延时的一个度量）是一个常数，即,滤波器系统函数：,哈工大电信院信息工程系宿富林,16,2、理想低通滤波器的特点,偶对称 无限长 实数,n,0,哈工大电信院信息工程系宿富林,17,要用FIR滤波器设计，需要将h(n)截断。 将 延迟 后，以 为中心对称截取N点而得h(n)。 此时，h(n)=

7、h(N-1-n)，偶对称、实数。 位移后，滤波器频率响应为：,n,0,N-1,相位是线性的。,哈工大电信院信息工程系宿富林,18,对于高通、带通、带阻滤波器，也有同样结论。 h(n)=h(N-1-n)、实数 滤波器相位特性是线性相位的。,哈工大电信院信息工程系宿富林,19,2、理想希尔波特变换器,奇对称 、无限长,哈工大电信院信息工程系宿富林,20,将其右移 截断后：,设计FIR滤波器： 对hd(n)作移位、截断处理：,h(n)=-h(N-1-n)、实数,滤波器相位特性是线性相位,哈工大电信院信息工程系宿富林,21,3、微分器,奇对称、实数,位移 、截取N点后,线性相位,奇对称 、无限长,哈工

8、大电信院信息工程系宿富林,22,可见：这些滤波器冲激响应具有以下特点： （线性相位条件） （1）h(n)为实数 （2）h(n)=h(N-1-n) 或 h(n)=-h(N-1-n) 对称中心：(N-1)/2 此时，滤波器的相频特性是线性的。,哈工大电信院信息工程系宿富林,23,二、线性相位特点,分四种情况讨论： 1、第一种情况：h(n)=h(N-1-n)，且N为奇数 2、第二种情况：h(n)偶对称， 且N为偶数 3、第三种情况: h(n)=-h(N-1-n) ，且N为奇数 4、第四种情况：h(n)奇对称，且N为偶数,哈工大电信院信息工程系宿富林,24,1、第一种情况：h(n)=h(N-1-n)

9、且N为奇数时,0,(N-1)/2,N-1,哈工大电信院信息工程系宿富林,25,（第二项用n=N-1-m作变量代换 ）,令：,哈工大电信院信息工程系宿富林,26,令a(0)=h(N-1/2); a(n)=2h(N-1)/2-n, n=1,2,(N-1)/2,关于0, 2偶对称,0,0,H(),(),哈工大电信院信息工程系宿富林,27,2、第二种情况：h(n)偶对称，且长度N为偶数时,令,0,N-1,(N-1)/2,哈工大电信院信息工程系宿富林,28,3）不适合做高通滤波器,1）关于奇对称,0,2 偶对称,在z=-1处有零点。,0,0,H(),(),哈工大电信院信息工程系宿富林,29,3、第三种情

10、况: 当 h(n)=-h(N-1-n) 且N为奇数,0,N-1,(N-1)/2,哈工大电信院信息工程系宿富林,30,1）H(0)=0,H()=0; H(z)在z=1，z=-1处有零点。 2）H()关于 0,2 奇对称 3）不能作为一般的低通或高通滤波器。 4）其相位函数是的线性函数，包含了/2,适于做希尔伯特变换器和微分器。,H(),(),0,0,哈工大电信院信息工程系宿富林,31,4、第四种情况：当h(n)奇对称，N为偶数时,(),0,0,H(),1）H(0)=0, H(z)在z=1处有零点 2）H()关于 =偶对称,0,2 奇对称 3）不能作为一般的低通滤波器 4）相位函数是的线性函数，包

11、含/2，适于做希尔伯特变换器和微分器,哈工大电信院信息工程系宿富林,32,上述四种FIR滤波器的相位特性只取决于h(n)的对称性，而与h(n)的值无关。 它们的幅度标量特性取决于h(n)，故在设计这类滤波器时，在保证h(n)对称的条件下，只考虑幅度的逼近即可。 第一，二种情况的滤波器可以做一般意义下的FIR滤波器 第三，四种情况的滤波器不适于做一般的滤波器，适于做希尔伯特变换器，微分器和正交网络。,哈工大电信院信息工程系宿富林,33,四种线性相位滤波器,哈工大电信院信息工程系宿富林,34,哈工大电信院信息工程系宿富林,35,三、零点位置,这说明：若 是零点，则 也是零点。,（实数）,即：若 是

12、零点，则 也是零点。,哈工大电信院信息工程系宿富林,36,1、零点 既不在实轴上，又不在单位圆上，则必有两对零点， 2、零点在单位圆上，一对零点； 3、若在实轴上，也只有一对零点；,|z|=1,|z|=1,Rez,Imz,Imz,Rez,哈工大电信院信息工程系宿富林,37,4、零点既在单位圆上，又在实轴上，则零点成单个出现， 即z=1，z= -1。 5、当N为偶数时，有N-1奇数个零点，其中必有一个为z=1或z= -1。 当N为奇数时，则有N-1偶数个零点。,Imz,Rez,Imz,Rez,Imz,Rez,|z|=1,|z|=1,|z|=1,-1,1,哈工大电信院信息工程系宿富林,38,四、线

13、性相位FIR的结构,1、 N为偶数, h(n)=h(N-1-n)时的直接型结构,哈工大电信院信息工程系宿富林,39,比一般的直接型减少一半的乘法次数及系数存储单元,哈工大电信院信息工程系宿富林,40,2、N为奇数的直接型结构,比一般的直接型减少一半的乘法次数及系数存储单元,哈工大电信院信息工程系宿富林,41,3、 级联型结构,1、零点：z=1 或 z=-1 ： 2、零点在单位圆或实轴上：,一次乘法,3、零点不在单位圆或实轴上,线性FIR，两次乘法,1k,1k,2k,哈工大电信院信息工程系宿富林,42,2-3 窗函数法设计FIR数字滤波器,一、设计方法,给定的理想滤波器频率响应HD(j)，要求设

14、计一个FIR滤波器，即：寻找一有限长h(n)，使得：,选取有限长h(n)的一种办法就是右移 =(N-1)/2 后再截断hd(n)。即，采用一窗口序列w(n)来截取hd(n) ： h(n)=hd(n)w(n),又称傅立叶级数法,哈工大电信院信息工程系宿富林,43,直接截取存在的问题： 误差：吉布斯(Gibbs)效应 现象：通带内和阻带内波动。 原因：截断 （又称截断效应）,哈工大电信院信息工程系宿富林,44,二、Gibbs现象（以低通滤波器的设计为例分析）,1、计算窗函数频谱 设窗口为矩形窗：,则其频谱为：,这里，,1/0dB,-0.224/-13dB,0,主瓣,旁瓣,哈工大电信院信息工程系宿富

15、林,45,因为,所以,2、计算H（j）,哈工大电信院信息工程系宿富林,46,若：,3、低通滤波器设计举例（幅度谱的计算）,哈工大电信院信息工程系宿富林,47,矩形窗的卷积过程,最大正肩峰值,最大负肩峰值,哈工大电信院信息工程系宿富林,48,（1）将Hd()在截止频率处的间断点变成了连续曲线， 使理想频率特性不连续点处边沿加宽，形成一个过渡带。即：在c0附近，正负两肩峰之间形成一过渡带，宽度为： 即等于Wr()的主瓣宽度。 （2）在过渡带两侧（通带及阻带内)形成很长的逐渐衰减的波纹。 这种起伏与窗函数的幅度谱有关。Wr()波动越快（N大，旁瓣多），起伏越快。旁瓣的相对幅度影响起伏的幅度。,过渡带

16、,4、矩形窗对理想低通滤波器的影响,由于肩峰值的大小直接影响通带特性和阻带衰减，所以对滤波器的性能影响较大。 在矩形窗情况下，最大相对肩峰值为0.0895，N增加时， 2/N减小，起伏振荡变密， 最大相对肩峰值则总是8.95%，这种现象称为吉布斯效应。 这个衰减量在工程上常常是不够大的。,哈工大电信院信息工程系宿富林,50,三、减小Gibbs效应的措施,增大N是否可减小Gibbs效应？ 若不能，是否有其他方法？,哈工大电信院信息工程系宿富林,51,1、改变N值，可以改变窗口频谱的主瓣宽度，但不能改变其主瓣与旁瓣电平的比值。最大负峰为-21dB.即：增加窗函数的长度N只能相应的减少过渡带，而不能

17、改变肩峰值。 2、增大N使过渡带宽变窄。 减小Gibbs效应的措施：寻找其他窗函数，以减少带内起伏和加大阻带衰减。,式中， x=N/2,哈工大电信院信息工程系宿富林,52,实际设计中要求窗口（1）频谱主瓣要窄。以获取较陡的过渡带；（2）旁瓣要小。 也就是能量尽量集中于主瓣，使肩峰和波纹减小，就可增大阻带的衰减。 但在N一定时，这两项要求总是不能同时满足的。因旁瓣变小的同时会使主瓣宽度增加。 所以常以增加主瓣宽度来得到对旁瓣的抑制。为不使过渡带边宽，可以增加N的方法使主瓣变窄。,哈工大电信院信息工程系宿富林,53,四、常用窗函数,1凯塞（Kaiser）窗族 此类窗族的特点是适应性强，起表达式为

18、通常情况下， 值增大，则其频谱旁瓣降低，主瓣增宽。 是第一类修正零阶贝塞尔函数，,凯塞窗族频谱的幅度函数,哈工大电信院信息工程系宿富林,54,凯塞窗 的影响,哈工大电信院信息工程系宿富林,55,2布莱克曼（Blackman）窗族,1）汉宁窗(Hanning,升余弦窗)，K=1， 2）海明(Hamming，改进升余弦窗)窗，K=1，,哈工大电信院信息工程系宿富林,56,3）布莱克曼（Blackman）窗，K=2，,哈工大电信院信息工程系宿富林,57,Blackman 窗族的各项指标,哈工大电信院信息工程系宿富林,58,3巴特利特（Bartlett，三角窗）窗,频谱最大旁瓣电平为-25dB， 阻带

19、衰减为-31dB 主瓣宽度归一化系数D=4。,N-1,(N-1)/2,哈工大电信院信息工程系宿富林,59,哈工大电信院信息工程系宿富林,60,哈工大电信院信息工程系宿富林,61,五、窗口法设计FIR滤波器的步骤 1、根据给定的 或技术要求求 。 若 较复杂，可用IFFT求解。 由于hd(n)有可能是无限长的，因此严格说，IFFT点数M。实际上，由于hd(n)随n的增加衰减很快，一般只要M足够大，即MN，就可以了。 如给出通带、阻带、截止频率等指标要求，可选用理想滤波器作逼近函数。然后采用IFFT求出hd(n)。,哈工大电信院信息工程系宿富林,62,2、根据给定的阻带衰减选定合适的窗口w(n)

20、在满足阻带衰减时，尽量选用主瓣窄的窗。 3、根据所选窗口的D值和给定的过渡带宽求出N值。 4、右移求出h(n); （注意：N取偶数时，则不能采用此式，而应将 变成 ，再计算h（n） （线性相位FIR滤波器，应满足相应条件) 5、 由h(n)求FIR滤波器的系统函数H(z) 。 6、验证设计结果，即计算 出或 ，核对是否合乎给定的指标。若不满足设计指标，重复25步，进行修正设计，直到满足设计指标为止,哈工大电信院信息工程系宿富林,63,注意： 利用窗口法设计FIR滤波器，所得滤波器的阻带衰减通常比窗口频谱的最大旁瓣衰减要大. 这是由于 与 的卷积过程对窗口的旁瓣起了平滑作用。 一般滤波器的阻带衰

21、减与窗口频谱的最大旁瓣衰减相差约78dB以上。,哈工大电信院信息工程系宿富林,64,例子,例一：用矩形窗、Hanning窗、hamming窗、Blackman窗设计FIR低通滤波器，N=21,c=0.2.,哈工大电信院信息工程系宿富林,65,解：首先求出hd(n). 位移=(N-1)/2=10,并截取 加窗。h(n)=hd(n)w(n) DFT求H(j),哈工大电信院信息工程系宿富林,66,矩形窗,哈工大电信院信息工程系宿富林,67,Hanning窗,哈工大电信院信息工程系宿富林,68,hamming窗,哈工大电信院信息工程系宿富林,69,Blackman窗,哈工大电信院信息工程系宿富林,70

22、,例2：,设计一个线性相位FIR低通滤波器，给定抽样频率为：fs=15KHz,通带截止频率为：fp=1.5KHz，阻带截止频率为：fst=3KHz，阻带衰减不小于-50dB.,fp,fst,-50dB,哈工大电信院信息工程系宿富林,71,解： （1）求数字频率 wp=fp/fs2=1.5/15 2=0.2 wst=fst/fs2=3/15 2=0.4 过渡带宽：=wst-wp=0.2 中心频率： 0=（wst+wp)/2=0.3 (2)求hd(n) 略。,哈工大电信院信息工程系宿富林,72,（2）由阻带衰减-50dB.查表，可选Hamming窗，（-53dB） (3)有过渡带求N =24/N

23、40 取：N=41 (4)延时：=(N-1)/2=(41-1)/2=20. (5)h(n)=hd(n-)w(n) (6)求H(j),验证 满足要求。,哈工大电信院信息工程系宿富林,73,哈工大电信院信息工程系宿富林,74,六、窗函数法特点,窗口法设计的主要优点是简单，使用方便。窗口函数大多有封闭的公式可循，性能、参数都已有表格、资料可供参考， 计算程序简便， 所以很实用。 缺点是通带和阻带的截止频率不易控制。,哈工大电信院信息工程系宿富林,75,2-3 FIR数字滤波器频率抽样设计法,频率采样法是从频域出发，把给定的理想频率响应Hd(j)以等间隔采样,以此Hd(k)作为实际FIR数字滤波器的频

24、率响应的采样值H(k) 由IDFT定义, 可以确定有限长序列h(n)，即,n=0, 1, 2, , N-1,由频域内插公式：,一、线性相位的约束,如果的是线性相位的FIR滤波器，则其H(k)的幅度和相位一定要满足线性相位条件。 由于现在要在频域处理，故需转换为频域的条件。,1、 第一类线性相位滤波器：h(n)偶对称， N为奇数,H()关于=0,2 偶对称，即：,采样值H(k): 因此：,2、 第二类线性相位滤波器：h(n)偶对称， N为偶数,H()关于= 是奇对称的,0,2 偶对称,H()=-H(2-),Hk也应满足奇对称要求,3、 第三类线性相位滤波器：h(n)奇对称， N为奇数,H()关于

25、=0,2是奇对称的,H()=-H(2-),Hk也应满足奇对称要求,4、 第四类线性相位滤波器：h(n)奇对称， N为偶数,H()关于=是偶对称的, 0,2奇对称,H()=H(2-),Hk也应满足奇对称要求,二、逼近误差,频率抽样的响应,采样点上滤波器的频率响应严格地和理想频率响应相等 采样点之间的频响则是由各采样点的加权内插函数的延伸叠加而成的, 有逼近误差，误差大小取决于理想频率响应形状 理想频率响应特性变化越平缓，则内插值越接近理想值，逼近误差越小。 采样点之间的理想频率特性变化越陡，则内插值与理想值的误差就越大，在理想频率特性的不连续点附近，就会产生肩峰和起伏。,哈工大电信院信息工程系宿

26、富林,84,三、改进措施,为了提高逼近的质量，把一些频域抽样的样本作为可调节的自由变量，通过调整这些自由变量来得到满意的结果。 通常是通过优化设计，计算出这些自由变量的最优值，以达到最优逼近。 实际中，常选择过渡带中的样本作为自由变量（一般过渡带取一， 二， 三点采样值即可得到满意结果）。但这样会使过渡带变宽 。,加过渡带（a） 一点; (b) 二点; (c) 三点,在低通设计中： 不加过渡采样点时，阻带最小衰减为-20 dB 一点过渡采样的最优化设计阻带最小衰减可提高到 -44 dB到-54 dB 左右， 二点过渡采样的最优化设计可达-65 dB到-75dB左右， 三点过渡采样的最优化设计则

27、可达-85 dB到-95dB左右。,哈工大电信院信息工程系宿富林,87,过渡带内各样本的优化设计方法： （1）把过渡带以外的样本作为所求的频率响应样本，把过渡带内的样本作为自由变量； （2）然后列出一组描述加在频率响应上的约束条件的线性不等式; （3）用优化算法解此线性不等式方程组，得出各自由变量（过渡带样本）的值。,例1 用频率采样法设计一线性相位滤波器，N=15，幅度采样值为：,试设计采样值的相位k，并求h(n)及H()的表达式。 解 因本题所给N=15，且k=HN-k满足偶对称条件，H0=1， 可知，这是第一类线性相位滤波器。相位 ，因此有：,滤波器幅频特性,例 2 利用频率采样法，设计一个线性相位低通FIR数字滤波器，其理想频率特性是矩形的,0c,其他,已知c=0.5，采样点数为奇数N=33。试求各采样点的幅值Hk及相位k，也即求采样值H(k)。 解： N=33, 且低通滤波器幅度特性H(0)=1。可知，这属于第一类线性相位滤波器。第一类线性相位滤波器的幅度特性H()关于=为偶对称， 即,因而有：,0k32,在c处没有采样点,或：,滤波器频率响应,红色：抽样点 蓝色：设计的滤波器的幅频响应 过渡带：2/33 (即： 2/N) （阻带按过零点算）,低通滤波器设计（c=0.5），过渡带无样本(N=33),过渡带,阻