随机过程(超容易理解+配套例题)ppt课件.ppt

1、随机过程简介,1、实际背景： 在许多实际问题中,不仅需要对随机现象做特定时间点上的一次观察,且需要做多次的连续不断的观察,以观察研究对象随时间推移的演变过程. Ex.1 对某城市的气温进行n年的连续观察,记录得 ： 研究该城市气温有无以年为周期的变化规律?,1,Ex.2 从杂乱电讯号的一段观察Y(t),0 t T 中,研究是否存在某种随机信号S(t )?,随机过程直观解释： 对随机信号或者噪声信号作一次观测相当于做一次随机试验，每次随机试验所得到的观测记录结果 是一个确定的函数，称为样本函数，所有的样本函数的全体构成了随机过程。,2、随机过程的定义,设随机试验E的样本空间为S=e，对其每一个元

2、素 (i=1,2,)都以某种法则确定一个样本函数x(t, ),由全部元素e所确定的一族样本函数x(t，e)称为随机过程，记为x(t)。,设有一个过程x(t)，若对每一个固定的时刻 (j=1,2)，X( )是一个随机变量，则x(t)称为随机过程。,2,随机过程x(t,e)四种不同情况下的意义： .当t固定，e固定时，x(t)是一个确定值； .当t固定，e可变时，x(t)是一个随机变量； .当t可变，e固定时，x(t)是一个确定的时间函数； .当t可变，e可变时，x(t)是一个随机过程；,平稳过程 1）严平稳过程： 若 有相同的联合分布，也就是说主要性质只与变量之间的时间间隔有关。,3,2）宽平稳

3、过程： 如果随机过程x(t), 所有二阶矩都存在，并且Ex(t)= ,协方差函数 只与时间差t-s有关，那么称x(t), 为宽平稳过程。,研究随机过程的一个重要切入点就是研究一个随机信号的数字特征，数字特征主要包括数学期望、相关函数、方差、协方差、均方值。其中数学期望是一阶矩，后面四个是二阶矩。可以通过研究随机过程的二阶矩特征来判断随机过程是否平稳等等。,4,Poisson过程,1、计数过程： 随机过程 称为计数过程，如果 表示从0到t时刻某一特定事件A发生的次数，它具备以下两个特点： （1） 且取值为整数； （2） 时，,5,2、Poisson过程 计数过程 称为参数为 的Poisson过程

4、，如果 （1）N(0)=0; (2)过程有独立增量； (3)对任意的,称为Poisson过程的强度或者速率，也就是说单位事件内事件发生的次数。,6,例：顾客到达某商店服从 =4的Poisson分布,已知商店上午9：00开门，试求到9：30时仅到一位顾客，而到11：30时总计已达5位顾客的概率。,设 表示在时间t时到达的顾客数,解：,7,Poisson过程的推广,当Poisson过程的强度 不再是常数，而与时间t有关时，Poisson过程被推广为非齐次Poisson过程。一般来说，非齐次Poisson过程不具有平稳增量。 非齐次Poisson过程 计数过程 称做强度函数为 的非齐次Poisson

5、过程，如果 （1）N(0)=0； （2）过程有独立增量； （3）对任意实数 为具有参数 的Poisson分布。 令,8,例 设某设备的使用期限为10年，在前5年内它平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年需要维修一次，求它在使用期内只维修过一次的概率。 解 考虑非齐次泊松过程，强度函数,9,复合Poisson过程 条件Poisson过程,设Yi,i1是一族独立同分布的随机变量， N(t),t0是泊松过程，且Yi,i1与N(t),t0独立，记,称X(t),t0为复合泊松过程。,1、定义：设 是一个正的随机变量，分布函数为G(x)，设N(t) 是一个计数过程，在 的条件下， N(t),t0是参数为

6、 的泊松过程，即对任意的 s, t0，有,则称N(t),t0为条件泊松过程。,10,更新过程,1、更新过程的定义 设Xn,n1是独立同分布的非负随机变量，分布函数为F(x)，且F(0)1，令,记,或,称N(t),t0更新过程。,一个典型的更新过程的例子就是机器零件的更换。在0时刻，安装上一个新零件并开始运行，当零件在X1时刻发生损坏，马上用一个新的来替换（假设替换零件不需要时间），当第二个零件从X1时间开始运行，到X2时间发生损坏时，我们马上换第三个零件.这些零件的使用寿命是独立同分布的，那么到t时刻为止已经更换的零件数目就构成一个更新过程。,11,注： 在有限的时间内不可能有无限多次更新发生

7、。因为,由大数定律知，依概率1有,从而，无穷多次更新只可能在无限长的时间内发生，即有限的时间内最多只能发生有限次更新。,12,2、更新方程 ：如下形式的积分方程称为更新方程,其中H(t)，F(t)为已知，且当t0时， H(t)， F(t)均为0，当H(t)在任何区间上有界时称 此方程为适定更新方程，简称更新方程。,设m(t)为更新函数，其导数称为更新密度，记为M(t),13,3、更新方程的解 设更新方程中H(t)为有界函数，则方程存在惟一的在有限区间内有界的解,4、更新方程在人口学中的一个应用 考虑一个确定性的人口模型,-在时刻t女婴的出生速率，即在 t,t+dt之间有B(t)dt个女婴出生.

8、,已知：,-生存函数：指一个女婴能活到 年龄x的概率.,-生育的年龄强度：指年龄为x的母亲生育的速率.即年龄为x的母亲在t,t+dt之间生下的女婴数为,14,我们要用过去的B(t)预测未来的B(t)。,因为,-t时刻年龄在x,x+dx之间的女性数。,-t时刻年龄在x,x+dx之间的女性在单位时间内所生育的女婴数。,则在单位时间内所有育龄段女性生育的女婴数为,15,所以，,这是一个更新方程，其中,作变量替换 x=y+t 得,16,注意：,-年龄t的女性在时间t,t+dt之间生育的女婴数,-一个新生的女婴在年龄x,x+dx之间期待生育的女婴数,所以,-一个新生的女婴在年龄x之前期待生育的女婴数,1

9、7,表示其一生中将期待生育个女婴数,可以证明: 当 时，,其中C为常数,R满足方程,当 时，B(t)渐近指数地趋于0， 即人群最终消亡。,当 时， B(t)将趋于一个有限的正 数。,18,Markov链,1、定义,随机过程 称为马尔可夫链，若它只 取有限或可列个值（称为过程的状态，记为0，1，2，）， 并且，对任意 及状态 ，有,有这样一类随机过程，它具备“无后效性”，即，要确定过程将来的状态，知道它此刻的状态就足够了，并不需要对它以往状况的认识，这类过程称为Markov过程。,19,定义,称,为n时刻的一步转移概率。若,即pij与n无关，则称Xn,n0为齐次马尔可夫链。记P=(pij)，称P

10、为Xn,n0的一步转移概率矩阵.,2、转移概率,20,假设有一只蚂蚁在如右图的图上爬行，当两个结点相临时，蚂蚁将爬行它临近的一点，并且爬向任何一个邻居的概率是相同的。则此Markov链的转移矩阵为：,21,假定某大学有一万人，每人每月使用一支牙膏，并且只使用“中华”牙膏和“黑妹”牙膏两者之一。根据本月的调查，有3000人使用黑妹牙膏，7000人使用中华牙膏。又据调查，使用黑妹牙膏的3000人中 ，有60%的人下月将继续使用黑妹牙膏，40%的人将改用中华牙膏；使用中华牙膏的7000人中，有70%的人下月将继续使用中华牙膏，30%的人将改用黑妹牙膏。,1）我们可以得到转移概率矩阵,2）用转移概率矩

11、阵预测市场占有率的变化 有了转移概率矩阵，我们可以知道下一个月使用黑妹牙膏和中华牙膏人数,故下个月使用黑妹牙膏的人数为3900人，使用中华牙膏的人数为6100人,3）假定转移概率矩阵不变，还可以预测再下一个月的情况,22,其中 称为二步转移矩阵，也就是从刚开始那月份到接下 来的第二月份的情况。二步转移矩阵正好是一步转移矩阵的平方。一般的，k步转移矩阵正好是一步转移矩阵的k次方。,23,24,25,26,27,鞅； Brown运动；,28,曾红庆: 1、严平稳随机过程在通信过程中的应用2、严平稳随机过程与宽平稳随机过程区别联系 3、马尔科夫链与马尔科夫过程关系以及区别 赵津锋: 1、随机过程在w

12、sn中哪部分可以被用到？ 2、请详述马尔科夫过程。 3、请详述泊松过程 李玉龙: 1、什么是随机过程？ 2、随机过程主要用于无线网络的哪些方面？ 3、马尔可夫链的原理是什么？ 甘子健: 1、poisson过程是累积计数模型，它与WSM或实验室研究内容有哪方面的关联？ 2、随机过程是否存在傅里叶变化？ 3、臧浪同学对于随机过程学习的建议。 常宝明: 1、随机过程在无线传感器网络中有没有典型的应用？ 2、想重点了解一下马尔可夫链 3、跟哪些学科有练习，学习时应该注意些什么？ 欧阳经纶: 1、随机过程和概率论相关吗？有什么区别？ 2、随机过程有哪些主要的内容，主要解决什么问题？ 3、马尔科夫链是随机过程中的吗？详细讲解一下。,郭勋：1、用自己的话概况随机过程主要内容 2、随机过程和概率论有何区别与联系 3、概述马尔科夫过程，有何实际意义,29,1、随机过程的简介和概率论等其他学科的联系,随机过程(Stochastic Process)是一连串随机事件动态关系的定量描述。随机过程论与其他数学分支如位势论、微分方程、力学及复变函数论等有密切的联系，是在自然科学、工程科学及社会科学各领域研究随机现象的重要工具。随机过程论目前已得到广泛的应用，在诸如天气预报、统计物理、天体物理、运筹决策、经济数学、安全科学、人口理论、可靠性及计算机科学等很多领域都要经常用到随机过程的理论来建