L18-外场中的运动1.ppt

1、能带和波函数的对称性,-来源于晶格的平移对称性(周期性),-来源于晶体的点群对称性,-来源于时间反演对称性,上一讲回顾,能态密度和费米面,上一讲回顾,第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动,在一定条件下，把晶体中电子在外场中的运动当作 准经典粒子来处理。,解含外场的波动方程,处理晶体中电子在外场中的运动所采用的方法：,条件：外场较弱、恒定，不考虑电子在不同能带间的 跃迁，不涉及电子的衍射和干涉等。,7.1准经典运动,一、波包与电子速度,设波包由以k0为中心，在k的范围内的波函数组成，并假设k很小，近似认为,不随k而变,对于一确定的k ，含时的Bloch函数为,在晶体中，可以用含时间的Bloch

2、函数来组成波包。,一维情况：,波包,令,分析波包的运动，只需分析2，即概率分布即可。,令,0,波函数主要集中在尺度为 的范围内，,波包中心为：w0,即,若将波包看成一个准粒子，则粒子的速度为,布里渊区的宽度：2/a,三维情况：,电子速度为,条件：k很小,以a为周期，并不会改变波包的形状。,电子速度的方向为k空间中能量梯度的方向，即沿等 能面的法线方向。,在一般情况下，在k空间中，等能面并不是球面，因 此，v的方向一般并不是k的方向；,电子的运动方向决定于等能面的形状,只有当等能面为球面，或在某些特殊方向上，v才与k的方向相同。,电子运动速度的大小与k的关系,以一维为例：,在能带底和能带顶，E(

3、k)取极值，,与自由电子的速度总是随能量的增加而单调上升是完全不同的。,二、电子的准动量,功能原理：,当F与速度v垂直时，可由冲量定理证明在垂直于v 的方向上， 和外力F的分量也相等。,在平行于v的方向上， 和F的分量相等；,在外场中，电子所受的力为F，在dt时间内，外场对电子所做的功为,这是电子在外场作用下运动状态变化的基本公式，具有与经典力学中牛顿定律相似的形式。, 电子的准动量,晶体中的电子在碰撞过程中所贡献的动量为 。,三、电子的加速度和有效质量,晶体中电子准经典运动的基本关系式：,由以上两式可直接导出在外力作用下电子的加速度。,1. 一维情况,引入电子的有效质量：,在周期场中电子的有

4、效质量m*与k有关,E(k)取极小值，,E(k)取极大值，,在能带底：,在能带顶：,2. 三维情况,分量形式：,1, 2, 3,矩阵形式：,牛顿定律：,这里用二阶张量 代替了,电子的加速度方向并不一定与外力的方向一致。,倒有效质量张量是对称张量，如将kx、ky、kz取为张量的主轴方向，可将其对角化。,倒有效质量张量：,在主轴坐标系中：,例：简单立方晶体中，紧束缚近似下s带电子的有效质量, 1, 2, 3,即kx , ky, kz为张量的主轴方向, , ,有效质量的三个主分量均与J1成反比，若原子间距越大，J1越小，则有效质量就越大。,有效质量张量退化为一个标量,在能带底点：,在能带顶R点：,在

5、能带底和能带顶电子的有效质量是各向同性的，退化为一标量，这是立方对称的结果。,在X点：,有效质量不仅可以取正，也可以取负，在能带底附近 （E(k)极小），有效质量总是正的；而在能带顶附近 （ E(k)极大）， 有效质量总是负的。,有效质量是一个很重要的概念，它把晶体中电子准经典运动的加速度与外力联系起来。,有效质量中包含了周期场对电子的作用。在一般情况下， 有效质量是一个张量，在特殊情况下可以退化为标量。,四、有效质量的物理解释,电子的真实动量：,一维情况下：,由于周期场对电子的作用力（晶格力）比较复杂，并且往往事先不能知道，而且晶格对电子的作用是量子效应，是不能用经典的方法来处理。,牛顿定律

6、：,由,所以,电子有效质量,有效质量包含了周期场的影响，所以，有效质量有别于电子的惯性质量。,对于自由电子：F晶0，所以，m*m。,周期场中的电子已不是自由电子，它在运动过程中总是受到周期场的作用，即F晶0。我们只是为了讨论电子运动的方便，在形式上把它看成一个“自由粒子”，将周期场的作用归并到有效质量中，而将电子对外场的响应写成类似于经典牛顿定律的形式。这时，有效质量在电子运动中所起的作用就类似于粒子质量的作用。这就是电子的有效质量m*为何与电子的真实质量m可以有很大差别的物理原因。,有效质量m*既可以小于m，也可以大于m，甚至还可以为负值。这都取决于晶格力的大小与方向，即周期场对电子运动的影

7、响。这种影响主要通过在布里渊区边界附近发生Bragg反射，而在电子与晶格之间交换动量这种形式反映出来的。,在能带底：电子的能量取极小值，,电子从外场所获得的动量大于电子交给晶格的动量，因而表现为具有正的有效质量m* 0；,在能带顶：,电子从外场所获得的动量小于它交给晶格的动量，因而表现为具有负的有效质量m* 0。,在拐点处，F外F晶，所以m*。,当F外F晶时，m* 0；而当F外F晶时，m* 0。,由于F外只是外场对电子的作用力，它并不是电子所受的合外力，因此， 并不是电子的真实动量，而是电子的准动量就不难理解了。,电子的有效质量和电子的准动量是两个人为引入的物理量，至少我们可以在形式上不必考虑

8、晶格力，而只考虑外场力对电子运动的影响。,在讨论晶体中电子的准经典运动时， 是一个很有用的量，它往往比电子的真实动量mv更有用。这是因为在k空间中去理解电子的运动往往比在真实空间中更容易。,5.2 在恒定电场作用下电子的运动,一维紧束缚近似：,i：某原子能级,设J1 0，则k0点为能带底；k/a为能带顶,电子速度：,有效质量：,在k=/2a处， v(k)分别为极大和极小；而m* 。,在能带底k=0和能带顶k=/a处，电子速度v(k)=0；,一、在k空间中的运动图象,设沿x方向加一恒定电场，电子受力：F=e 沿+x方向,这表明电子在k空间中的运动是匀速的。,由,在准经典运动中，电子在同一能带中运动。电子在k空间中的匀速运动意味着电子的能量本征值沿E(k)函数曲线周期性变化，即电子在k空间中做循环运动。,电子在k空间中的循环运动，表现在电子速度上是v随时间作周期性振荡。,二、在实空间中的运动图象,电子速度的周期性振荡也就是电子在实空间中的振荡。,附加电势能：,由于电子在运动过程中不断受到声子、杂质和缺陷的 散射，上述的振荡现象实际上很难观察到。若相邻两 次散射（碰撞）间的平均时间间隔很小，电子还来 不及完成一次振荡过程就已被散射。,在晶体中： 10121013 s，a 31010 m,为了观察到电子振荡的全过程，要