5.薄板弯曲问题

1、1,第五章薄板弯曲问题,2,5-1 薄板弯曲问题（P263267页）,力学概念定义的板是指厚度尺寸相对长宽尺寸小很多的平板，且能承受横向或垂直于板面的载荷。如板不是平板而为曲的(指一个单元)，则称为壳问题。如作用于板上的载荷仅为平行于板面的纵向载荷，则称为平面应力问题；如作用于板上的载荷为垂直于板面的横向载荷，则称为板的弯扭问题，常简称板的弯曲问题。,Shell 41,Shell 63,Solid 45,3,5-1 薄板弯曲问题（P263267页）,1、基本假设（克希霍夫假设） 1）直法线假设：即变形前垂直于板中面的直线，在弯曲变形后仍为直线，且垂直于弯曲后的中面。说明在平行于中面的面上没有剪

2、应变，即,4,5-1 薄板弯曲问题（P263267页）,2）厚度不变假设：即忽略板厚变化。即 。由于板内各点的扰度与 z坐标无关，只是x，y的函数，即 3）中面上正应力远小于其它应力分量假设：平行于中面的各层相互不挤压，不拉伸，沿z向的正应力可忽略，即 4）中面无伸缩假设：弯曲过程中，中面无伸缩，即,5,5-1 薄板弯曲问题（P263267页）,2、基本方程 1）几何方程,6,5-1 薄板弯曲问题,2、基本方程 1）几何方程,7,5-1 薄板弯曲问题（P263267页）,2）应力应变关系（HOOK 定律）,8,5-1 薄板弯曲问题（P263267页）,记为矩阵形式：,9,5-1 薄板弯曲问题（

3、P263267页）,3）内力矩公式 单位宽度上垂直x，y轴的横截面上弯矩、扭矩,10,5-2 薄板弯曲的矩形单元,用有限元法求解薄板弯曲问题，常在板中面进行离散，常用的单元有三角形和矩形。为了使相邻单元间同时可传递力和力矩，节点当作刚性节点，即节点处同时有节点力和节点力矩作用。,每个节点有三个自由度，即一个扰度和分别绕x，y轴的转角。如右上图矩形单元。,11,5-2 薄板弯曲的矩形单元,节点位移向量和节点力向量,12,5-2 薄板弯曲的矩形单元,3、位移函数 薄板弯曲时，只有w(x,y)是薄板变形的未知基本函数，而其它量，如u,v等都是w(x,y)的函数，故薄板矩形单元的位移函数的选择实际就是

4、w(x,y)的选取。注意单元有12个自由度，则,13,5-2 薄板弯曲的矩形单元,另两个转角为：,14,5-2 薄板弯曲的矩形单元,待定系数：利用12个节点位移值可待定12个系数，整理w(x,y)为插值函数形式：,其中，,15,5-2 薄板弯曲的矩形单元,其中，形函数：,16,5-2 薄板弯曲的矩形单元,单元收敛性分析： 1）位移函数 中包含有常量项，反映了刚体位移，如 为扰度常量， 为转角常量。 2）位移函数中包含了常量应变项， 如形变分量为： 表明薄板处于均匀弯扭变形状态，即常应变状态。这里的常应变为扰度的二次函数，而在平面单元中为位移的一次式，这是因为板有厚度，其形变是指不同厚度上的。,

5、17,3）相邻单元在公共边界上扰度是连续的但转角不一定连续。 设边界ij边 y=b 则 有位移 对于绕y轴的转角：,四个系数c1c4刚好通过i，j两个端点的扰度值wi、wj和绕y轴的两个转角值yi、yj唯一确定；同时，相邻单元在此边界上也能通过i，j的值唯一确定，故连续。,18,3）相邻单元在公共边界上扰度是连续的但转角不一定连续。 设边界ij边 y=-b 则 有位移 如对于绕x轴的转角：,四个系数d1d4与c1c4是相互独立的， 因此，四个系数d1d4不能通过i，j的两个已知绕x轴的转角值xi、xj唯一确定；同理，相邻单元在此边界上也不能唯一确定四个系数。故转角不连续。 所以，薄板矩形单元是非协调单元。但实践表明，当单元细分，其解完全能收敛真实