高考数学第二轮复习立体几何题库

1、1. 如图，平面VAD平面ABCD，VAD是等边三角形，ABCD是矩形，ABAD1，F是AB的中点（1）求VC与平面ABCD所成的角； （2）求二面角V-FC-B的度数；（3）当V到平面ABCD的距离是3时，求B到平面VFC的距离2.如图正方体ABCD-中，E、F、G分别是、AB、BC的中点（1）证明：EG；（2）证明：平面AEG；（3）求，3. 在直角梯形P1DCB中，P1D/CB，CD/P1D且P1D = 6，BC = 3，DC =，A是P1D的中点，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置，使二面角PCDB成45角，设E、F分别是线段AB、PD的中点 （1）求证：AF/平面PEC；DB

2、CFEAP （2）求平面PEC和平面PAD所成的二面角的大小； （3）求点D到平面PEC的距离BCDAP1DCABP4. 如图四棱锥中，底面，正方形的边长为2（1）求点到平面的距离；（2）求直线与平面所成角的大小；（3）求以与为半平面的二面角的正切值。5. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB=60且边长为1的菱形。侧面PAD是正三角形，其所在侧面垂直底面ABCD，G是AD中点。（1）求异面直线BG与PC所成的角；（2）求点G到面PBC的距离；（3）若E是BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD，并说明理由。6. 如图，正三棱柱.(1)求证：平面；(2)求

3、证：；(3)若.7. 如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，底面，。（1）求证：；（2）（文科）设棱的中点为，求异面直线与所成角的大小；（理科）求面与面所成二面角的大小。8. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1=2， ACB=90，D、E分别为AC、AA1的中点.点F为棱AB上的点.()当点F为AB的中点时.(1)求证：EFAC1；(2)求点B1到平面DEF的距离.()若二面角A-DF-E的大小为的值.9. 已知正四棱柱中，点E为的中点，F为的中点。D1C1B1A1DCBAEF求与DF所成角的大小；求证：面；求点到面BDE的距离。10. 在三棱锥中,平面,是上一点,且平

4、面.求证: 平面; 求二面角的大小;求异面直线与的距离.11. 如图所示：四棱锥P-ABCD底面一直角梯形，BAAD，CDAD，CD=2AB，PA底面ABCD，E为PC的中点. （1）证明：EB平面PAD； （2）若PA=AD，证明：BE平面PDC； （3）当PA=AD=DC时，求二面角E-BD-C的正切值.12. 如图，已知正三棱柱的底面边长是，是侧棱的中点，直线与侧面所成的角为 （）求此正三棱柱的侧棱长；（） 求二面角的大小；（）求点到平面的距离13. 如图，已知M，N分别是棱长为1的正方体的棱和的中点，求：（1）MN与所成的角；（2）MN与间的距离。14. 如图，棱锥PABCD的底面AB

5、CD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=2，BD=.CDPAB（）求证：BD平面PAC；（）求二面角PCDB的大小；（）求点C到平面PBD的距离. 15. 已知：四棱锥P-ABCD,底面ABCD是直角梯形，且ABCD, 点F为线段PC的中点， (1)求证： BF平面PAD；(2) 求证：。 16. 在如图所示的几何体中，平面ABC，平面ABC，M是AB的中点。（）求证：；（）求CM与平面CDE所成的角；17. 如图，在五棱锥中,.(1)求证：;(2)求点E到面SCD的距离；SEADCB(3)求二面角的大小.18. 如图，已知是直角梯形，平面(1) 证明：；(2) 在上是否存在一点，使得平面？

6、若存在，找出点，并证明：平面；若不存在，请说明理由； （3）若，求二面角的余弦值CDBAP19. 如图，四棱锥PABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB底面ABCD （I）证明：侧面PAB侧面PBC； （II）求侧棱PC与底面ABCD所成的角； （III）求直线AB与平面PCD的距离 20. 已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PB=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将PAD沿AD折起，使面PAD面ABCD（如图2）。（1）证明：平面PADPCD；（2）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分；（3）在M满足（）的情况下

7、，判断直线AM是否平行面PCD.答案：1.取AD的中点G，连结VG，CG（1）ADV为正三角形，VGAD又平面VAD平面ABCDAD为交线，VG平面ABCD，则VCG为CV与平面ABCD所成的角设ADa，则，在RtGDC中，在RtVGC中，即VC与平面ABCD成30（2）连结GF，则而在GFC中，GFFC连结VF，由VG平面ABCD知VFFC，则VFG即为二面角V-FC-D的平面角在RtVFG中，VFG45二面角V-FC-B的度数为135（3）设B到平面VFC的距离为h，当V到平面ABCD的距离是3时，即VG3此时，即B到面VCF的距离为2.以D为原点，DA、DC、所在的直线分别为x、y、z轴

8、，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a，则D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），（0，0，a），E（a，a，），F（a，0），G（，a，0）（1），-a），0，（2），a，），平面AEG（3）由，a，），（a，a，），BCDAP13. 取PC中点M，连结FM、EM/ F、M分别为PD、PC中点/ FMCDDBCFEAP/ E为AB中点， AECD FMAE， FMEA为平行四边形 AF/EM AF平面PEC，EM平面PEC AF/平面PEC延长DA，CE交于点N，连结PN ABPA， ABADBCFEAPDNM AB平面PAD AB/DC6 DC平面PAD DCPD DCAD

9、PDA为二面角PCDB的平面角 PDA45 PAAD PDA45 PD PAAD 又 PAAB PA平面ABCD/ AE/CD 且E为AB中点 AECD AE为NDC的中位线 ANADPA PND为Rt 又 NEEC PE PNC为Rt PCPN PDPN CPD为平面PEC和平面PAD所成二面角的平面角 又 PD CD PDDC tanCPD CPD30 平面PEC和平面PAD所成二面角为30 连结ED PA平面ABCD VPCEDSCEDPA VPCEDVDPCE 设点D到平面PCE的距离为d SPCE VPPCESDCEd d 点D到平面PEC的距离为4. （1）过作平面 平面平面平面又

10、平面，又平面为到平面的距离。在中由 得；（2）由（1）知平面 为直线与平面所成的角在中，（3）过作，连，由（1）知平面，由三垂线定理的逆定理知 为二面角的平面角，在中，在中，5. （1）PAD为正三角形，G为AD中点，PGAD又PG面PAD，面PAD面ABCD面PAD面ABCD=ADPG面ABCD，又GB面ABCDPGGB又DAB=60，四边形ABCD为菱形，BA=BDBGAD以G为原点，GB所在直线为x轴，GD所在直线为y轴，GP所在直线为z轴，建立（如图所示）空间直角坐标系Gxyz，则G（0，0，0），GB与PC所成角的余弦值为：（2）设面PBC的一个法向量为由和得G到面PBC的距离（3）

11、设存在F点，使面DEF面ABCD，且F分的比为则DAB=60，BD=DC，又E为BC中点，BCDE由BC面ABCD，面DEF面ABCD=DE知BC面DEF即F为PC中点6. (1)证明：. . 又. (2)证明：连结. .又因为E是AC的中点，.而.(3)作.设. .7. （1）如图建立空间直角坐标系，则； 连结，则在直角三角形中， ，。 （2）（文科）， 设与的夹角为，异面直线与所成角为， ， 异面直线与所成角的大小为。 （理科）平面的一个法向量， 设平面的一个法向量，令，则， 设与的夹角为，则，由图形得，面与面所成二面角的大小为。8. 解：(1)(1)DFBC,BCAC,DFAC 平面AC

12、C1A1平面ABC，DF平面ACC1A1 DFAC1 ACC1A1是正方形 AC1DEAC1面DEFAC1EF，即EFAC1 (2)B1C1BC，BCDF，B1C1平面DEF 点在B1到平面DEF的距离等于点C1到平面DEF的距离DF平面ACC1A1平面DEF平面ACC1A1AC1DEAC1平面DEF 设AC1DE=O，则C1O就是点C1到平面DEF的距离由题设计算，得C1O= (3)当点F为AB的中点即=1时，DFBC,DFAC,AA1面ABC，EDDF，EDA即为二面角A-DF-E的平面角，由AE=AD，因此EDA=9. （1）取中点，连，则取的中点N，连，是所成的角。.过N作所成的角为（

13、2）连BE，则为等腰三角形， 平面（3）可知面设到面BDE的距离为，则10. (1)4个字的160人,5个字的40人. (2) 2 3 4 5 (3) 305 18.解:(1) 平面,平面,平面平面又平面(2)由(1)可求得,以点为坐标原点,为轴,为轴,过点与平行的直线为轴建立空间直角坐标系,则.取的中点,连,则,从而,平面,所以,平面的法向量为.设平面的法向量为,则 即令,得所以所求二面角的大小为.(3)设向量与都垂直,则由得令,得.所以异面直线与的距离11. （1）取PD中点Q，连EQ、AQ，则QECD，CDAB，QEAB，又AQ又平面PAD3分（2）PA底面ABCD CDPA，又CDAD

14、CD平面PAD AQCD若PA=AD，Q为PD中点，AQPD AQ平面PCDBEAQ，BE平面PCD7分（3）连结AC，取AC的中点G，连EG，EGPA，PA平面ABCD，EC平面ABCD，过G作GHBD，连EH，则EHBD，EHG是二面角EBDC的平面角.设AB=1，则PA=AD=DC=2AB=2. 又 ABG， BGAD，GBH=ADB，ABDHBG.12. （）设正三棱柱的侧棱长为取中点，连是正三角形，又底面侧面，且交线为侧面连，则直线与侧面所成的角为在中，解得 此正三棱柱的侧棱长为 注：也可用向量法求侧棱长（）解法1：过作于，连，侧面为二面角的平面角 在中，又， 又在中， 故二面角的大

15、小为 解法2：（向量法，见后）（）解法1：由（）可知，平面,平面平面，且交线为，过作于，则平面 在中， 为中点，点到平面的距离为 解法2：（思路）取中点，连和，由，易得平面平面，且交线为过点作于，则的长为点到平面的距离解法3：（思路）等体积变换:由可求解法4：（向量法，见后）题（）、（）的向量解法：（）解法2：如图，建立空间直角坐标系则设为平面的法向量由 得取 又平面的一个法向量 结合图形可知，二面角的大小为 （）解法4：由（）解法2，点到平面的距离13. (1)以D为原点,DA,DC,DD1分别为X、Y、Z轴建立如图的空间坐标系。则。由于M、N是的中点，从而。则故与所成的角为。（2）设与都垂

16、直的方向向量为。则 即 即取，则。所以与间的距离为14. 方法一：DPABC证：（）在RtBAD中，AD=2，BD=， AB=2，ABCD为正方形，因此BDAC. PA平面ABCD，BD平面ABCD，BDPA . 又PAAC=ABD平面PAC. 解：（）由PA面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，又CDAD， CDPD，知PDA为二面角PCDB的平面角. 又PA=AD，PDA=450 . （）PA=AB=AD=2PB=PD=BD= 设C到面PBD的距离为d，由，有， yzDPABCx即，得 方法二：证：（）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）

17、.在RtBAD中，AD=2，BD=， AB=2.B（2，0，0）、C（2，2，0）， 即BDAP，BDAC，又APAC=A，BD平面PAC. 解：（）由（）得. 设平面PCD的法向量为，则，即，故平面PCD的法向量可取为 PA平面ABCD，为平面ABCD的法向量. 设二面角PCDB的大小为q，依题意可得，q = 450 . （）由（）得设平面PBD的法向量为，则，即，x=y=z故平面PBD的法向量可取为. ，C到面PBD的距离为 15. (1)证明：取PD的中点E,连结EF、AE，因为点F为PC的中点，所以EFCD，且，而ABCD,，所以EFAB且EF=AB所以四边形EFBA是平行四边形，所以

18、BFAE因为所以BF平面PAD （6分）（2）由题意知，又，所以由（1）知BFAE所以 16. 方法一：（I）证明：因为，是的中点，所以又平面，所以（II）解：过点作平面，垂足是，连结交延长交于点，连结，是直线和平面所成的角因为平面，所以，又因为平面，所以，则平面，因此设，在直角梯形中，是的中点，所以，得是直角三角形，其中，所以在中，所以，故与平面所成的角是方法二：如图，以点为坐标原点，以，分别为轴和轴，过点作与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系，设，则，（I）证明：因为，所以，故（II）解：设向量与平面垂直，则，即因为，所以，即，直线与平面所成的角是与夹角的余角，所以，因此直线与平面所成的角是17. (1)：据题意，BC,ED的延长线相交，设交点为F，则、都为正三角形，且C,D为中点，从而，据三垂线定理，知.解（2）：,又,.设点E到面SCD的距离为，则，故点E到面SCD的距离CDBAPEF（3）连AC，分别过B作,则即为二面角的平面角. 利用面积法，在中易得在中易得,二面角为.18. （1）由已知易得， ， ，即又 平面，平面， ， 平面又 平面， (2) 存在取的中点为,连结,则平面证明如下：取的中点为,连结 ， ，且， 四边形是平行四边形，即 平面， 平面. 分别是的中点， 平面， 平面 ，平面平