第17课时3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示.ppt

1、,3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示,3.1.5 空间向量运算的坐标表示,共线向量定理:,复习：,共面向量定理:,平面向量基本定理：,平面向量的正交分解及坐标表示,问题：,我们知道，平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 来表示（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？,O,Q,P,由此可知，如果 是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量 ，存在一个有序实数组 x,y,z使得 我们称 为向量 在 上的分向量。,探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量 ，你能得出类似的 结论吗？,任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。,空间向量基本

2、定理：,如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使,都叫做基向量,（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。,特别提示：对于基底a,b,c,除了应知道a,b,c不共面， 还应明确：,（2） 由于可视 为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是 。,（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。,推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x,y,z，使 当且仅当x+y+z=1时，P、A、B、C四点共面。,一、空间直角坐标系,点

3、O叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。,给定一个空间坐标系和向量 ,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3 有序数组( x, y, z)叫做p在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z),二、空间向量的直角坐标系,x,y,z,O,e1,e2,e3,在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一点，A,对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数组x,y,z，使 OA=xe1+ye2+ze3,在单位正交基底e1, e2, e3中与向量OA对应的有序实数组(x,y

4、,z)，叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.,x,y,z,O,A(x,y,z),e1,e2,e3,练习： 1、在空间坐标系o-xyz中， ( 分别是与x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的单位向量)则 的坐标为 . 2、点M（2，-3，-4）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正投影的坐标分别为 ，关于原点的对称点为 ，,例题,已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.,平面向量运算的坐标表示：,空间向

5、量运算的坐标表示又是怎样的呢 ?,类比是我们探究规律的重要方法,空间向量运算的坐标表示,1.距离公式,（1）向量的长度（模）公式,注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度.,探究 距离与夹角,设 =(a1,a2,a3), =(b1,b2,b3).,在空间直角坐标系中，已知、 ，则,（2）空间两点间的距离公式,2.两个向量夹角公式,提示： （1）当 时，同向共线. （2）当 时，反向共线. （3）当 时，.,思考：当 及 时，夹角在什么范围内？,例题讲解 书本96页 例5，例6,1.基本知识：,（1）向量的长度公式与两点间的距离公式.,（2）两个向量的夹角公式.,2.思想方法：用向量计算或