模糊数学--第四章---模糊关系

1、第三章 模糊关系,第一节 模糊关系的基本概念,第二节 模糊关系的合成,第三节 模糊等价关系,第四节 模糊相似关系,第五节 模糊关系应用 (模糊聚类分析和模糊综合评判),1. 概念,定义3.1,称为从X 到 Y 的模糊关系.,(关联度)。,特别，从X到X的模糊关系称为 X上的模糊关系.,例如，远远大于 :,第一节 模糊关系的基本概念,2. 运算,可推广,性质：,证明：,从而，,3.截关系与强截关系,截关系与强截关系分别满足截集与强截集性质,例如：,4. 有限论域上的模糊关系,视其为关系R,例1.,例2.,身高与体重之间的关系为：,例1,第二节 模糊关系的合成,1. 普通关系的合成的特征关系,2.

2、 模糊关系合成的定义,3. 有限论域上模糊关系合成,公式：,将矩阵乘法中乘积改为取小，加改为取大,合成与矩阵乘积规则及注意事项类似,第三节 模糊等价关系,对称关系：,传递关系：,1.普通等价关系,自反关系：,等价关系：,自反、对称、传递,利用等价关系R可以对X进行划分(partition),2.模糊自反关系(fuzzy reflexive relations),定义,则称R为模糊自反关系.,命题3.1,根据主对角线元素是否为1判定R 是否自反,证明：,3. 模糊对称关系(fuzzy symmetric relations),定义,则称R为模糊对称关系.,根据矩阵是否为对称阵判定R 是否对称关系

3、,显然，,命题3.3,证明：,4. 模糊传递关系(fuzzy transitive relations),定义,例如,命题3.4,命题3.5,设R是模糊传递的，,证明：,根据命题3.4知：R模糊传递.,5. 模糊等价关系(fuzzy equivalency relations),定义 若R是模糊自反、对称、传递关系，则称 R是一个模糊等价关系。,例如:,R是对称阵且主对角线元素全为1，故为 模糊对称及自反关系。,对模糊等价关系，,随着划分水平的提高，划分加细,6. 模糊传递闭包(transitive closure),定义,R的传递闭包 是包含R的最 小的传递关系,注,(i) 传递闭包若存在，

4、则唯一,命题3.7,证明：,命题3.8,证明：,第一步: 证明,第二步：,第三步：,依次类推，,例如:,第四节 模糊相似关系,定义3.12,命题3.14,证明：,命题3.15,证明：,例子,推论3.2,证明：,另外，,推论3.3,证明：,求相似关系R的传递闭包,加速算法(二次方法)：,例如：,第五节 模糊关系应用,一、 模糊聚类分析,二、 综合评判,一、 模糊聚类分析,Fuzzy Clustering Analysis,聚类分析：,利用给定的指标对事物进行分类,模糊聚类分析：,将模糊数学方法用于聚类分析,问题描述：,模糊聚类分析方法描述,第一步：原始数据处理；第二步：标定.,标定的方法如下：,（1）数量积法,（2）相关系数法,（3）最小-最大法,（3）绝对值指数法,（4）绝对值减数法,写出矩阵,所有标定方法满足：,第三步，聚类.,例8,（环境单元分类）,每个环境单元包括空气、水分、,土壤、作物四要素，环境单元的污染状况由污染物,在四要素中含量的超限量来描述，现设有五个环境,单元，它们的污染数据如下：,试根据这些污染 数据对五个环境 单元进行分类。,全体归为一类,全体归为一类,直接聚类法,直接聚类法一般步骤：,直接聚类法与基于传递闭包的分类结果完全相同,二、 综