概率论1习题课

1、习题课,几何概率简介,考虑一个点等可能地随机落在0,1区间。,1,若问事件C:点落在0.5处的概率。,显然 P(A)=0,但A不是不可能事件。,问事件A：点落在0与0.3之间的概率。,P(B)=0.5,这种与几何测量有关的概率称为几何概率。,问事件B：点落在0与0.5之间的概率。,一般，设某个区域 D (线段，平面区域，空间区域），具有度量 mD(长度，面积，体积)。如果随机实验 E 相当于向区域内任意地取点，且取到每一点都是等可能的，则称此类试验为 几何概型。 如果事件，事件 A 对应于点落在 D 内的某区域 A，则,几何概率的基本性质,从几何概型的概率研究中，我们发现概率有下面三个基本性质

2、： 对于任何事件A, P(A)0； P(S)=1； 若A1 ，A2 ， 两两互不相容，则 第一个性质称为概率的非负性，第二个性质称为概率的规范性，第三个性质称为概率的可列可加性。前两个性质与古典概率相同，后一个性质则要求对可列个两两互不相容的事件成立。,解： 以 X , Y 分别表示甲乙二人到达的时刻，于是,即 点 M 落在图中的阴影部 分。所有的点构成一个正 方形，即有无穷多个结果。 由于每人在任一时刻到达 都是等可能的，所以落在正 方形内各点是等可能的。,例 (会面问题）甲、乙二人约定在 1 点到 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去 设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，

3、且二人互不影响。求二人能会面的概率。,0 1 2 3 4 5,y,x,5 4 3 2 1,.M(X,Y),二人会面的条件是：,0 1 2 3 4 5,y,x,5 4 3 2 1,y-x =1,y-x = -1,1 (07,4分）,由全概率公式：,设,为随机事件，且,，则必有,(B),(C),(D),故应选().,3 (2006),(A),，即,4 (98数学一）,分析,即,5（94，3分）,6,7 已知 P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=0, P(AC)=P(BC)=1/8, 求事件A，B，C全不发生的概率,解：,8,已知 P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 求

4、下列各事件的概率：,解：,设事件A，B，C两两独立，且ABC=, P(A)=P(B)=P(C)1/2，且已知P(ABC)=9/16, 求P(A),9,解：,解得：,或,舍掉,10、设事件A，B，C相互独立，且 P(AB)=1/3, P(AC)=1/3，P(BC)=2/3， 求A，B，C三个事件至少发生一个的概率。,解：,同理,11 某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲丙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.,解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报,12,已知,且a1，b1。求,解：

5、,13、袋中装有编号1,2, n(n2)的n个球，有返回地抽取 r 次，求： （1）1号球不被抽到的概率； （2）1号球和2号球均被抽到的概率。,解：,设A表示1号球被抽到，B表示2号球被抽到。,（1）,（2）,伯恩斯坦反例,14 一个均匀的正四面体， 其第一面染成红色， 第二面染成白色 ， 第三面染成黑色，而第四面同 时染上红、白、黑三种颜色.现以 A ， B，C 分别 记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件， 问 A，B，C是否相互独立?,解,由于在四面体中红、 白、黑分别出现两面，,因此,又由题意知,故有,因此 A，B，C 不相互独立.,则三事件 A, B, C 两两独立.,由于,所

6、求概率为,16 某厂生产的产品能直接出厂的概率为70%，余下 的30%的产品要调试后再定。已知调试后有80% 的产品可以出厂，20%的产品要报废。求该厂产 品的报废率。,解：设 A=生产的产品要报废 B=生产的产品要调试,已知 P(B)=0.3，P(A|B)=0.2,17 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人 击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中 而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概 率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机 被击落的概率.,解,D表示飞机被击落 A, B, C 分别表示甲、乙、丙击中飞机 ,因而,由全概率公式得,因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为,思路 由于抽到的表与来自哪个地区有关,故此 题要用全概率公式来讨论.,18,解,又因为,思路 为了求系统的可靠性,分两种情况讨论:,19,解,所以,20 一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为p