目标规划-运筹学

1、第四章 目标规划,Goal Programming,4.1 目标规划问题及其建模 4.2 目标规划的图解法 4.3 目标规划的单纯形法 4.4 目标规划应用,第4章 目标规划,第2章 单纯形法,2,引例4-1 某企业计划生产甲、乙、丙三种产品，需要在两种设备A、B上加工，消耗C、D两种原料，有关数据见下表。,4.1 目标规划问题及其建模,第4章 目标规划,3,设 分别为甲、乙、丙的产量，则利润最大的线性规划模型为： 线性规划最优解为X* =（50，30，10） Z*=3400,4.1 目标规划问题及其建模,第4章 目标规划,4,决策者考虑以下实际目标： 利润不少于3200元 产品甲的产量不超过

2、产品乙的产量的1.5倍 提高丙的产量达到30以上 设备加工能力不足时可以加班，但最好不加班 原料只能使用现有的原料。 企业如何制定生产计划，才能实现决策者的目标？,4.1 目标规划问题及其建模,第4章 目标规划,5,如果用线性规划求解，模型如下： 该线性规划模型无可行解。,-6-,线性规划：单一目标，最优解,目标规划：多目标、优先次序、满意解,目标规划（Goal Programming）研究企业考虑现有的资源条件下，在多个目标中去寻求满意解，使得完成目标的总体结果与事先制定目标的差距最小。,目标规划是按事先制定的目标顺序进行检查，尽可能使目标达到预定的目标，即使不能达到目标也要使得偏离目标的差

3、距最小，也就是求得满意解。 （1） 设置偏差变量，表明实际值同目标值之间的差异 d+, d- 分别为正、负偏差变量, d+表示实际值超过目标值部分； d- 表示实际值未达到目标值部分；d+ 和 d- 两者中必定至少有一个为零。 （2）绝对约束和目标约束 绝对约束：必须严格满足的等式约束和不等式约束，也称硬约束。 目标约束：允许发生正或负偏差，也称软约束。,4.1 目标规划问题及其建模,第4章 目标规划,7,-第4章 目标规划-,目标值,d1-,d1+,实际值,实际值,d1- d1+ =0,d1- 0， d1+ 0,正偏差变量,负偏差变量,（3）优先因子（优先等级）与权系数 一个规划问题常常有若

4、干目标，但决策者在要求达到这些目标时，是有主次和轻重缓急的不同。要求第一位达到的目标赋予优先因子P1，次位的目标赋予优先因子P2, 规定PkPk+1，k=1,2, ,K。 （4）目标规划的目标函数 每当一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小偏离目标值，因此目标规划的目标函数只能是min Z=f (d+, d- )。其基本形式有三种： 恰好达到目标值，正、负偏差变量都尽可能地小，min Z=f (d+, d- ) 不超过目标值，正偏差变量要尽可能地小，min Z=f (d+) 超过目标值，负偏差变量要尽可能地小，min Z=f (d- ),4.1 目标规划问题及其建模,第4章 目标规划,9,例

5、4-1用目标规划表示的模型为 其满意解为X=（28，20，30）， d1+ =20， d2- =2， d4-=36， d5+ =16，其余变量为零。,4.1 目标规划问题及其建模,第4章 目标规划,10,决策者考虑以下实际目标： 利润不少于3200元 产品甲的产量不超过产品乙的产量的1.5倍 提高丙的产量达到30以上 设备加工能力不足时可以加班，但最好不加班 原料只能使用现有的原料。 企业如何制定生产计划，才能实现决策者的目标？,目标规划的数学模型的一般形式为 其中：Pl为第l级优先因子，l=1, ,L; -lk，+lk为分别赋予第l个目标约束的正负偏差变量的权系数。gk为第k个目标的预期目标

6、值，k=1, ,K。,4.1 目标规划问题及其建模,第4章 目标规划,11,第4章 目标规划,12,练：某工厂生产，两种产品，已知有关数据见下表。,（1) 根据市场信息，产品的销售量有下降的趋势，故考虑产品的产量不大于产品。 (2) 超过计划供应的原材料时，需用高价采购，会使成本大幅度增加 (3) 应尽可能充分利用设备台时，但不希望加班。 (4) 应尽可能达到并超过计划利润指标56元。 决策者在原材料供应受严格限制的基础上考虑：首先是产品的产量不低于产品的产量；其次是充分利用设备有效台时，不加班；再次是利润额不小于56元。求决策方案 。,-第4章 目标规划-,-13-,目标规划模型如下：,当目

7、标规划问题中只包含两个决策变量时，可以用图解法进行求满意解。 目标规划图解法的计算步骤如下： （1）对所有目标约束，去掉偏差变量，画出相应直线，然后标出偏差变量变化时直线平移方向。 （2）确定第一优先级P1级各目标的解空间R1。 （3）转到下一个优先级PJ级个目标，确定它的“最佳”解空间RJ。 （4）在求解过程中，若解空间 RJ已缩小为一点，则结束求解过程，因为此时已没有进一步改进的可能。 （5）重复第（3）步和第（4）步过程，直到解空间缩小为一点，或者所有L个优先级都已搜索过，求解过程也告结束。,4.2目标规划的图解法,第4章 目标规划,14,例4-2 用图解法求解下列目标规划问题,4.2目

8、标规划的图解法,第4章 目标规划,15,解：所有目标约束，去掉偏差变量，画出相应直线，然后标出偏差变量变化时直线平移方向。 P1、P2的目标实现后，x1 , x2 的取值范围为ABCD。 考虑P3的目标中 d3- 尽量小的要求后， x1 , x2 的取值范围缩小为ABEF区域； 然后考虑 ，在ABEF中无法满足d4- =0,因此只能在ABEF中取一点，使d4- 尽可能小，这就是E点。 故E点为满意解。其坐标为（13/2，5/4）。 X=（ x1 ，x2 ）=（13/2，5/4），Z=9/4 P3 +3 P4,4.2目标规划的图解法,第4章 目标规划,16,-第4章 目标规划-,-17-,第2节

9、 解目标规划的图解法,求解线性规划的单纯形法的过程基本一致，只是在检验数处理时，需要考虑优先次序的影响。而且，目标规划的目标函数是求最小化，所以当检验数均为大于等于零时为满意解。 例4-3用单纯形法求解例4-2,4.3 目标规划的单纯形法,第4章 目标规划,18,Step (0): 初始单纯形表,第4章 目标规划,19,Step (1): x2 入基，d4- 出基,Step (2): d4+ 入基，d1- 出基,第4章 目标规划,20,Step (3): x1 入基， d4+出基,Step (4): d4- 入基， d3- 出基,第第4章 目标规划,21,Step (5): d1+ 入基， d

10、2-出基,这时，所有非基变量的检验数都大于零，所以有唯一最优解。 X*=（13/2，5/4） Z*=9/4P3+3P4,例4-4 利用Excel求解目标规划问题。 某工厂要生产两种新产品：门和窗。生产所需的时间如下表所示。根据经市场调查得到的该两种新产品的市场需求状况可以确定，按当前的定价可确保所有新产品均能销售出去。问该工厂如何安排这两种新产品的生产计划，可使总利润最大？ 其最优解为：X*=（ x1 ，x2 ）=（2，6） Z*=3600,4.4 目标规划应用,第4章 目标规划,22,现在工厂领导要考虑市场等一系列其他因素，提出如下目标： （1）根据市场信息，窗的销售量有下降的趋势，故希望窗

11、的产量不超过门的2倍；(希望) （2）由于车间3有另外新的生产任务,因此希望车间3节省4个工时用于新的生产任务;(希望) （3）应尽可能达到并超过计划的每周利润3000元。 （希望）,4.4 目标规划应用,第4章 目标规划,23,则目标规划模型为：,Excel电子表格求解目标规划是按照优先级渐进的。 假设三个目标优先级依次为（1）（2）（3）。由于有三个目标优先级（P1，P2，P3），所以要分三步完成： 第1步：首先保证P1级目标的实现，这时不考虑其他次级目标。 优先级1的数学模型为：,4.4 目标规划应用,第4章 目标规划,24,第4章 目标规划,25,第2步：在保证P1级目标实现的基础上考虑P2级目标。优先级2的数学模型为：,4.4 目标规划应用,第4章 目标规划,26,第4章 目标规划,27,第3步：在保证P1级和P2级目标实现的基础上考虑P3级目标。优先级3的数学模型为：,4.4 目标规划应用,第4章 目标规划,28,第