周期序列的傅立叶级数.ppt

1、引 言,由序列的 z变换引出的傅立叶变换，得到的信号频谱X(ej)，是的连续函数，不便于数字处理。 回顾一下傅立叶变换的几种可能形式 当“时间”或“频率”分别取连续值或离散值时，不同形式的傅立叶变换对。,引 言,1、连续时间、连续频率-傅立叶变换 连续时间非周期信号x(t)的傅立叶变换关系，得到的是连续的非周期的频谱函数。变换关系对如下：,引 言,2、离散时间、连续频率-序列傅立叶变换 对抽样序列而言，反映的是时域的离散化造成频域的周期延拓，变换关系对如下：,引 言,3、连续时间、离散频率-傅立叶级数 周期为T的周期连续函数可以展开成傅立叶级数，傅立叶级数的系数X(jk0)，可得变换关系对：,

2、引 言,4、离散时间、离散频率-离散傅立叶变换 有限长序列或周期序列的傅立叶变换，相当于对序列的连续傅立叶变换的频率抽样结果，正是本章要介绍的内容，其变换对如下：,引 言,有限长序列的离散傅立叶变换（DFT） Discrete FT: 解决了频域（频率）的离散化问题， 又有快速计算算法（Fast FT），便于 计算机和硬件实现。,展开成基波和各次谐波的线性组合。,下面，先讨论一下基序列的性质：,基序列满足,。,N,N,m,X(k)为周期序列，周期为N.,x(n)为周期序列，周期为N.,下面看一个例子：,只需找出一个周期内的值,结论：,与Z变换的关系,周期均为N,时域的移位导致频域的相移,则,频

3、域的移位导致时域的调制,简写为：,有别于线性卷积,即：时域的周期卷积对应着频域的乘积,即：时域周期序列的乘积对应着频域周期序列的卷积,5.,证明：,周期卷积的时域计算方法,1、与线性卷积的步骤相同： 变量置换：n-m 将其中一个序列反褶，m - -m，在N/2处反褶 反褶的序列移位，循环移位 序列对应点相乘、累加。在一个周期内进行 2、运算在m=0N-1内进行，计算出一个周期的结果，然后周期延拓得到整个序列。,周期为N=6的两个序列的周期卷积,N/2反褶,循环移位,可以由周期序列的傅立叶级数引出，也可以由傅立叶变换直接引出,W,如下：,X(k)是k的周期序列，而反变换得到的x(n)也是周期序列

4、，周期为N,即对原x(n)进行了周期延拓。,频率采样造成时域的周期延拓,则：,宽度为N的矩形序列（0-N-1），取第一个周期,则：,因此，有限长序列可用周期序列的一个周期来表示,其含义如下：,与周期序列的DFS意义相同。看下面的例子：,有限长序列的圆周移位指的是对序列的N点周期延拓序列移位，而后取主值区序列的结果。,有限长序列的圆周移位，在离散频域中只引入一个和频率k成正比的线性相移，对频谱的幅度没有影响。,周期序列移位后，再取主值区，其实质是：序列左移m位，而移出主值区的序列值又依次从右侧进入主值区。,利用周期性,对频域的有限长序列可以看成是分布在一个N等分的圆周上，因此频域移位实际上也是圆

5、周（循环）移位问题,时域序列的调制等效于频域的圆周（循环）移位,=,请看下面的证明：,利用周期性,证明：,请看下面应用这一性质的例子：,证明：,利用周期性,说明：周期序列的反褶只影响频谱的相位，不影响其幅度。,两个定义：,四. DFT的共轭对称性,同时：,作k=N-k替换，再取共轭,将序列展成实部和虚部：,共轭对称性的含义如下：,基于N/2点的共轭对称性,作k=N-k替换，再取共轭,因此： Xe(k)是共轭对称序列，而Xo(k)是共轭反对称序列，即： 复序列实部的DFT等于序列DFT的共轭对称部分。 复序列虚部乘j的DFT等于序列DFT的共轭反对称部分。 同样可以证明x(n)的共轭对称和共轭反

6、对称分量分别对应DFT 的实部和虚部乘j。,只在n=0时等于N.,利用共轭对称特性求解,上述例子说明： 利用共轭对称性，可以用一次DFT运算来计算两个实数序列的DFT，因而可以减少计算量。,另外：对实序列而言，利用共轭对称性：,因此，计算N点DFT ，当N为偶数时可以只计算前面的N/2+1点；而当N为奇数时，可以只计算(N+1)/2点DFT，因而可以减少计算量近 一半。,：,y(n),N/2 = 4点反褶,循环移位,k,频域能量的定义：各次谐波离散功率谱的总和,角,采样频率,3.2.4 有限长序列的线性卷积与循环卷积,在实际问题中，例如线性移不变系统，用的都是线性卷积； 线性卷积不能直接用 D

7、FT，因而不能使用后面的 FFT 计算。 探讨在什么条件下，可以用循环卷积运算来代替线性卷积运算。,设有两个有限长序列：,1、线性卷积的结果,2、循环卷积的结果,1）、构造点数为L的新序列，即在x1(n)后补L-N1 个0，在x2(n)后补L-N2个0，即：,计算L点循环卷积：,2、循环卷积的结果,2）、将x2(n)作L点周期延拓，即：,计算L点循环卷积：,L 点循环卷积y(n)是线性卷积yl(n)以L为周期的周期延拓序列的主值序列。,2、循环卷积的结果,由于：,因此：,原序列,线性卷积,5点循环卷积,10点循环卷积,对时域信号采样在一定条件下可以恢复连续信号,等间隔N点采样,N个频率采样可以不失真地代表N点有限长序列，那么也能够表达X(z)及频率响应X(ej),为插值函数，其特性分析如下：,令分子为0，得：,令分母为0，得：,内插函数只在本身抽样点r=k处不为零，在其他r不等于k的N-1个抽样点上都是零。零极点分布如下图3-3-2所示