拉普拉斯变换及其应用(补充内容).ppt

1、拉普拉斯变换及其应用,1 拉普拉斯变换的定义,2 拉普拉斯变换的基本性质,5 习题,4 拉普拉斯变换应用实例,3 拉普拉斯反变换,1,1 拉普拉斯变换的定义,Laplace变换是求解线性常微分方程常用的一种数学工具。与线性常微分方程的经典求解方法相比，Laplace变换有如下两个显著的特点： 只需一步运算就可以得到微分方程的通解和特解。 微分方程通过Laplace变换转化成含有s的代数方程，然后运用简单的代数法则就可以得到代数方程在s域上的解，而只要再作一次Laplace反变换就可以得到最终我们所需的时域上的解。,3,1 拉普拉斯变换的定义,一个定义在0,)区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换

2、式F(s)的定义为,在实际工程中，以时间t为自变量的函数f(t)通常都可以进行拉氏变换。,拉氏变换将原来的实变量函数 转化为复变量函数 。 拉氏变换是一种单值变换。 和 之间具有一一对应的关系。通常称 为原函数， 为象函数。,1 拉普拉斯变换的定义,5,常用函数的拉氏变换,1 拉普拉斯变换的定义,单位阶跃函数 的拉氏变换,解,即,根据定义,常用函数的拉氏变换,（1）单位阶跃函数,图1 单位阶跃函数,在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信号，相当一个开关的闭合(或断开)。,(2) 求指数函数 的拉氏变换,解：根据定义,即,常用函数的拉氏变换,8,常用函数的拉氏变换,由数学归纳法，得,9,

3、(4)单位脉冲函数d (t)的拉氏变换,常用函数的拉氏变换,图2单位脉冲函数,即,(5)正弦函数,解,常用函数的拉氏变换,即,同理可得,如,常用函数的拉氏变换,12,常用函数的拉氏变换,拉普拉斯变换及其应用,1 拉普拉斯变换的定义,2 拉普拉斯变换的基本性质,5 习题,4 拉普拉斯变换应用实例,3 拉普拉斯反变换,13,1. 线性性质,齐次性：设 则,拉氏变换也遵从线性函数的齐次性和叠加性,叠加性：设,则,2 拉普拉斯变换的基本性质,2.微分性质,设,可得各阶导数的拉氏变换为,2 拉普拉斯变换的基本性质,16,证 ：,2 拉普拉斯变换的基本性质,特别地,当,时,2 拉普拉斯变换的基本性质,3.

4、积分性质,设,原函数 积分的拉氏变换为:,2 拉普拉斯变换的基本性质,19,2 拉普拉斯变换的基本性质,4.位移性质,设,20,5.延迟性质,2 拉普拉斯变换的基本性质,设,式中: 为任意实数。 的函数图形如图3所示。,图3,21,2 拉普拉斯变换的基本性质,6.初值定理,若 且 存在,则,22,2 拉普拉斯变换的基本性质,7.终值定理,若 且 存在,则,终值定理的应用条件为： （1）当t时，f(t)有意义（有极限）。例如 无极限，那么就不能应用终值定理。 （2）若已知F(s)时，当sF(s)的分母多项式的根处在虚轴左半s平面（原点除外）时，定理可用。 例如， ，分母多项式的根在虚轴上，定理不

5、可 用； ，分母多项式的根在原点，可以用该定理。,终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统的稳态误差，求取系统输出量的稳态值等)有着很多的应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算定理。,2 拉普拉斯变换的基本性质,拉普拉斯变换及其应用,1 拉普拉斯变换的定义,2 拉普拉斯变换的基本性质,5 习题,4 拉普拉斯变换应用实例,3 拉普拉斯反变换,24,25,3 拉普拉斯反变换,由象函数F(s)求取原函数f(t)的运算称为拉氏反变换，它和拉氏变换是一一对应的。这里介绍利用部分分式展开，然后用查表的方法进行拉氏反变换，求取原函数。,3 拉普拉斯反变换,控制系统中的象函数是s的有理分式，可写成下

6、列形式：,式中:系数 和 都是实常数，n和m是正整数，通常mn。这里利用部分分式分解法求解，先将B(s)/A(s)化为一些简单分式之和，再查表得到。,为了将F(s)写为部分分式之和的形式，首先把F(s)的分母因式分解，即,式中: 为A(s)=0的根，称为F(s)的极点。,27,根据极点的不同特点，部分分式分解法有以下两种情况： （1）A(s)=0且无重根 若A(s)=0且无重根，则F(s)可展开成n个简单的部分分式之和，即,系数可由右式求出：,按上式将各待定系数全部求出后，再查表求出原函数。,3 拉普拉斯反变换,28,3 拉普拉斯反变换,例8 求 的原函数,将F(s)的分母因式分解为,查表可求

7、得原函数为,习题：求 的原函数,将F(s)的分母因式分解为,五、拉氏反变换,30,3 拉普拉斯反变换,例9 求 的原函数,将F(s)的分母因式分解为,查表可求得原函数为,31,（2）A(s)=0且有重根 设A(s)=0有r个重根p1，则F(s)可写为,3 拉普拉斯反变换,将上式展开成部分分式,式中: 为F(s)的重极点; ， 为F(s)的(n-r)个非重极点； ， ， ， 为待定系数,32,3 拉普拉斯反变换,式中: 为F(s)的重极点; ， 为F(s)的(n-r)个非重极点； ， ， ， 为待定系数,33,例 求 的原函数,3 拉普拉斯反变换,将上式展开成部分分式,其中,所以,习题：求 的原

8、函数,五、拉氏反变换,拉普拉斯变换及其应用,1 拉普拉斯变换的定义,2 拉普拉斯变换的基本性质,5 习题,4 拉普拉斯变换应用实例,3 拉普拉斯反变换,35,36,4 拉普拉斯变换应用实例,用拉氏变换求解线性常系数微分方程是一种工程上行之有效的简便方法，因为可将微分方程转化为代数方程，简化计算。 用拉氏变换法求解线性微分方程的一般步骤如下： （1）考虑初始条件，对微分方程进行拉氏变换，得到以s为变量的代数方程。 （2）求出系统输出量的s域表达式。 （3）将输出量的表达式展开成部分分式。 （4）对部分分式进行拉氏反变换（可查表），即可得微分方程的解。,例 求微分方程,满足初始条件,的解,解 设,对方程两边取Laplace变换, 得,解得,所以,38,4 拉普拉斯变换应用实例,【例】电路如图所示，已知,解,电路的微分方程为,对微分方程进行拉氏变换，得,代入参数得,又,39,4 拉普拉斯变换应用实例,所以,输出响应函数的拉氏变换式为,将上式展开成部分分式之和，得,由拉氏反变换求得系统响应为,40,【例12】图6所示电路，当t0时，开关位于“1”端，电路已经稳定;当t=0时，开关从