3.1.3导数的几何意义(两课时).ppt

1、3.1.3导数的 几何意义1,高二数学 选修1-1 第三章 导数及其应用,一、复习,导数的定义,其中：,其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。,其几何意义是？,P,Q,o,x,y,y=f(x),割线,切线,T,一、曲线上一点的切线的定义,结论:当Q点无限逼近P点时,此时 直线PQ就是P点处的切线PT.,点P处的割线与切线存在什么关系？,新授,设曲线C是函数y=f(x)的图象，,在曲线C上取一点P(x0,y0),及邻近一,点Q(x0+x,y0+y),过P、Q两点作割,线,当点Q沿着曲线无限接近于点P,点P处的切线。,即x0时, 如果割线PQ有一个极,限位置PT, 那么直线PT

2、叫做曲线在,曲线在某一点处的切线的定义,T,此处切线定义与以前的定义有何不同？,圆的切线定义并不适用于一般的曲线。 通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。,M,x,y,割线与切线的斜率有何关系呢？,即：当x0时，割线PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率，,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.,即:,这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切

3、线斜率的本质函数平均变化率的极限.,要注意,曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.,【例1】 求曲线y=x2在点P(1,1)处的切线的方程。,k=,解： y=f(1+ x)-f(1),= (1+ x)2 -1,=2 x+（ x）2,曲线在点P(1,1)处的切线的斜率为,因此，切线方程为 y-1=2(x-1),即： y=2x-1,（4）根据点斜式写出切线方程,求 斜 率,【小结】求曲线y=f(x)在点P(x

4、0,f(x0)处的切线的方法：,(1)求y=f(x0+ x)-f(x0),k=,【例2】,k=,(5)根据点斜式写出切线方程,【小结】求过曲线y=f(x)外点P(x1,y1)的切线的步骤：,k=,(1) 设切点(x0，f (x0),(3) 用(x0，f (x0)， P(x1,y1)表示斜率,(4) 根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k,归纳总结,判断已知点是否在曲线上，若不在曲线上则设切点为(x0,y0)； 利用导数的定义式求切线斜率 根据点斜式写出切线方程,1、导数的几何意义,2、利用导数的几何意义求曲线的 切线方程的方法步骤：,随堂检测： 1.已知曲线y=2x2上一点A(1,2)，求 （1

5、）点A处的切线的斜率； （2）点A处的切线方程。 2.求曲线y=x2+1在点P(-2,5)处的切 线的方程。,3、求曲线y=x-1过点(2,0)的切线方程,3、求曲线y=x-1过点(2,0)的切线方程,4、曲线 在点M处的切 线的斜率为2，求点M的坐标。,5、在曲线 上求一点，使过该点的切线与直线 平行。,h,t,o,二、函数的导数：,函数在点 处的导数 、导函数 、导数 之间的区别与联系。 1）函数在一点 处的导数 ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。 2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数 3）函数在点 处的导数 就是导函数 在 处的函数值，这也是 求函数在点 处的导数的方法之一。,例2:如图,已知曲线 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.,即点P处的切线的斜率等于4.,(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12